Ёж (топология)

Ёж в общей топологии — пример метризуемого пространства. Строится из центральной точки $O$ , единичного полуинтервала $\mathbb {P} =(0,1]$ и произвольного множества $S$ заданной мощности ${\mathfrak {m}}$ , называемой колючестью ежа, как:

J({\mathfrak {m}})=\{O\}\cup (\mathbb {P} \times S)

,

с введением метрики следующим образом:

$d(O,(x,s))=x$
$d((x,s_{1}),(y,s_{2}))={\begin{cases}|x-y|,&s_{1}=s_{2}\\x+y,&s_{1}\neq s_{2}\end{cases}}$ .

Название возникло из-за ассоциации с «иголками» из отрезков, торчащими из точки. «Колючесть» в этой ассоциации сопоставляется с количеством игл. Таким образом, $J(0)$ — просто точка $O$ , $J(1)=J(2)$ — отрезок.

Свойства

Ёж заданной колючести не зависит от выбора множества $S$ с точностью до гомеоморфизма.

Теорема Ковальского о еже: Счётная степень ежа колючести ${\mathfrak {m}}$ (при ${\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}$ ) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса ${\mathfrak {m}}$ . То есть любое метризуемое пространство веса ${\mathfrak {m}}$ гомеоморфно подпространству счётной степени ежа колючести ${\mathfrak {m}}$ .^[1]

Ёж является полным пространством, также не является вполне ограниченным пространством, при ${\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}$ ^[2], не сильно паракомпактен при ${\mathfrak {m}}>\aleph _{0}$ ^[3].

Ёж не является локально сепарабельным при ${\mathfrak {m}}>\aleph _{0}$ ^[4].

$J({\mathfrak {m}})$ вкладывается в $J({\mathfrak {n}})$ при ${\mathfrak {m}}\leq {\mathfrak {n}}$ .

$J({\mathfrak {m}})$ вкладывается в плоскость $\mathbb {R} ^{2}$ только при ${\mathfrak {m}}<\aleph _{0}$ .

Если ${\mathfrak {m}}$ — конечно, то вес, плотность, характер, клеточность и число Линделёфа ежа $J({\mathfrak {m}})$ равны $\aleph _{0}$ . Иначе (при ${\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}$ ) характер равен $\aleph _{0}$ , а вес, плотность, клеточность и число Линделёфа равны ${\mathfrak {m}}$ ^[5].