АТС-теорема

АТС теорема — теорема об аппроксимации тригонометрической суммы более короткой.

В некоторых областях математики и математической физики исследуются суммы вида

${\displaystyle S=\sum _{a<k\leq b}\varphi (k)e^{2\pi if(k)}.}$

Здесь ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle f(x)}$ — вещественные функции вещественного аргумента, ${\displaystyle i^{2}=-1.}$

Такие суммы появляются, например, в теории чисел при анализе дзета-функции Римана, при решении задач, связанных с распределением целых точек в различных областях на плоскости и в пространстве, при изучении рядов Фурье, при решении таких дифференциальных уравнений, как волновое уравнение, уравнение теплопроводности и т. д.

Назовём длиной суммы ${\displaystyle S}$ число ${\displaystyle b-a}$ (для целых ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ это просто число слагаемых в ${\displaystyle S}$).

Будем использовать следующие обозначения:

• При ${\displaystyle B>0,B\to +\infty }$ или ${\displaystyle B\to 0}$ запись ${\displaystyle 1\ll {\frac {A}{B}}\ll 1}$ означает, что существуют константы ${\displaystyle C_{1}>0}$ и ${\displaystyle C_{2}>0,}$, такие что

  ${\displaystyle C_{1}\leq {\frac {|A|}{B}}\leq C_{2}.}$

• Для вещественного ${\displaystyle \alpha }$ запись ${\displaystyle \|\alpha \|}$ значит, что

  ${\displaystyle \|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \}),}$

  где ${\displaystyle \{\alpha \}}$ — дробная часть ${\displaystyle \alpha .}$

Сформулируем основную теорему о замене тригонометрической (иногда её называют также экспоненциальной) суммы более короткой.

Пусть вещественные функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle \varphi (x)}$ удовлетворяют на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ следующим условиям:

1. ${\displaystyle f''(x)}$ и ${\displaystyle \varphi ''(x)}$ являются непрерывными;
2. существуют числа ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ такие, что

   ${\displaystyle H>0,~~1\ll U\ll V,~~0<b-a\leq V,}$

   ${\displaystyle {\begin{array}{rc}{\frac {1}{U}}\ll f''(x)\ll {\frac {1}{U}}\ ,&\varphi (x)\ll H,\\f'''(x)\ll {\frac {1}{UV}}\ ,&\varphi '(x)\ll {\frac {H}{V}},\\f''''(x)\ll {\frac {1}{UV^{2}}}\ ,&\varphi ''(x)\ll {\frac {H}{V^{2}}}.\\\end{array}}}$

Тогда, определяя числа ${\displaystyle x_{\mu }}$ из уравнения

${\displaystyle f'(x_{\mu })=\mu ,}$

имеем

${\displaystyle \sum _{a<\mu \leq b}\varphi (\mu )e^{2\pi if(\mu )}=\sum _{f'(a)\leq \mu \leq f'(b)}C(\mu )Z(\mu )+R,}$

где

${\displaystyle R=O\left({\frac {HU}{b-a}}+HT_{a}+HT_{b}+H\log \left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);}$

${\displaystyle T_{j}=\left\{{\begin{array}{rc}0\ ,&\ {{\textit {i}}f}\ \ f'(j)\ {{\textit {i}}s\ an\ integer};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}},{\sqrt {U}}\right)\ ,&\ {{\textit {i}}f}\ \ \|f'(j)\|\neq 0;\\\end{array}}\right.}$

${\displaystyle j=a,b;}$

${\displaystyle C(\mu )=\left\{{\begin{array}{rc}1\ \ ,&\ \ {{\textit {i}}f}\ \ f'(a)<\mu <f'(b);\\{\frac {1}{2}}\ \ ,&\ \ {{\textit {i}}f}\ \ \mu =f'(a)\ \ {{\textit {o}}r}\ \ \mu =f'(b);\\\end{array}}\right.}$

${\displaystyle Z(\mu )={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\frac {\varphi (x_{\mu })}{\sqrt {f''(x_{\mu })}}}e^{2\pi i(f(x_{\mu })-\mu x_{\mu })}\ .}$

Самым простым вариантом сформулированной теоремы - является утверждение, называемое в литературе леммой Ван дер Корпута.

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — вещественная дифференцируемая функция на интервале ${\displaystyle a<x\leq b}$, кроме того, внутри этого интервала её производная ${\displaystyle f'(x)}$ является монотонной и знакопостоянной функцией, и при ${\displaystyle \delta =const}$, ${\displaystyle 0<\delta <1}$ удовлетворяет неравенству

${\displaystyle |f'(x)|\leq \delta .}$

Тогда,

${\displaystyle \sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}dx+\theta \left(3+{\frac {2\delta }{1-\delta }}\right),}$

где ${\displaystyle |\theta |\leq 1.}$

Если параметры ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ являются целыми числами, то последнее выражение можно заменить таким:

${\displaystyle \sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}dx+{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(b)}-{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(a)}+\theta {\frac {2\delta }{1-\delta }},}$

где ${\displaystyle |\theta |\leq 1}$.

О применениях аппроксимации тригонометрической суммы в задачах физики см.^[1],^[2], см. также^[3],^[4].

Проблема приближения тригонометрического ряда какой-либо подходящей функцией рассматривалась ещё Эйлером и Пуассоном.

При определённых условиях на ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle f(x)}$ сумму ${\displaystyle S}$ можно заменить с хорошей точностью другой суммой ${\displaystyle S_{1},}$

${\displaystyle S_{1}=\sum _{\alpha <k\leq \beta }\Phi (k)e^{2\pi iF(k)},}$

длина которой ${\displaystyle \beta -\alpha }$ много меньше, чем ${\displaystyle b-a.}$ Первые соотношения вида

${\displaystyle S=S_{1}+R\ ,}$

где ${\displaystyle R}$ — остаточный член, с конкретными функциями ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle f(x),}$ были получены Г. Харди, Дж. Литтлвудом^[5][6][7] и И. Виноградовым^[8] при выводе функционального уравнения для дзета-функции Римана ${\displaystyle \zeta (s)}$, при рассмотрении количеств целых точек в областях на плоскости. В общем виде теорема была доказана Дж. Ван дер Корпутом^[9][10] (о недавних результатах, связанных с теоремой Ван дер Корпута можно прочитать в^[11]).

В каждой из вышеупомянутых работ на функции ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle f(x)}$ накладывались некоторые ограничения. С ограничениями, удобными для приложений, теорема была доказана А. А. Карацубой в^[12] (см. также^[13][14]).