Абелианизация

Абелианиза́ция — способ превратить произвольную группу в абелеву. Является полезным инструментом в теории групп, который находит применение в алгебраической топологии.

C помощью абелианизации возможно описать аддитивные инварианты группы, то есть гомоморфизмы из данной группы в некоторую абелеву. Также она зачастую позволяет свести задачу проверки неизоморфности групп, заданных образующими и соотношениями, к более простой аналогичной задаче для абелевых, особенно в случае конечно-порождённых.

Превращение группы в коммутативную подразумевает отождествление элементов ${\displaystyle xy}$ и ${\displaystyle yx}$ для всех ${\displaystyle x,y\in G}$. В частности, такая процедура приравняет каждый коммутатор ${\displaystyle [x,y]:=xyx^{-1}y^{-1}}$ к нейтральному элементу группы.

Верно и обратное: если каждый коммутатор эквивалентен единице группы, из формулы ${\displaystyle xy=[x,y]yx}$ следует, что любые два её элемента коммутируют. Таким образом, отождествления каждого коммутатора с единицей необходимо и достаточно для превращения произвольной группы в коммутативную. На языке теории групп оно называется факторизацией по коммутанту — подгруппе, порождённой всеми коммутаторами.

Абелианизацией группы ${\displaystyle G}$ называется её факторгруппа по коммутанту:

${\displaystyle G^{ab}:=G/[G,G]}$.

Также для абелианизации используются обозначения ${\displaystyle G_{ab}}$ и ${\displaystyle {\rm {Ab}}(G)}$.

Естественная проекция ${\displaystyle G\to G^{ab}}$ называется гомоморфизмом абелианизации и обозначается символом ${\displaystyle {\rm {ab}}}$. Её ядро совпадает с коммутантом группы ${\displaystyle G}$.

Группа называется каиновой, если её абелианизация тривиальна.

Абелианизация любой группы является абелевой группой. Любая абелева группа изоморфна своей абелианизации.

Абелианизация группы является её наибольшим абелевым фактором в том смысле, что факторгруппа по некоторой нормальной подгруппе абелева тогда и только тогда, когда эта подгруппа содержит коммутант группы.

Сопоставление ${\displaystyle G\to G^{ab}}$ продолжается до функтора из категории групп в категорию абелевых групп. А именно, каждому гомоморфизму ${\displaystyle f\colon G\to H}$ сопоставляется гомоморфизм ${\displaystyle f^{ab}\colon G^{ab}\to H^{ab}}$, определяющийся формулой ${\displaystyle f^{ab}([x]):=[f(x)]}$, где ${\displaystyle [a]}$ обозначает смежный класс элемента ${\displaystyle a}$.

Абелианизация группы, имеющей задание образующими и соотношениями ${\displaystyle G\cong \langle S\mid R\rangle }$, допускает задание

${\displaystyle G^{ab}\cong \langle S\mid R\cup \{[s,t]:s,t\in S\}\rangle }$.

Абелианизация и гомоморфизм абелианизации удовлетворяют следующему так называемому универсальному свойству. Для любого гомоморфизма ${\displaystyle f\colon G\to A}$ в любую абелеву группу ${\displaystyle A}$ существует такой единственный гомоморфизм ${\displaystyle F\colon G^{ab}\to A}$, что ${\displaystyle f=F\circ {\rm {ab}}}$. Универсальность состоит в том, что, как легко проверяется, любая другая группа, удовлетворяющая данному свойству, изоморфна группе ${\displaystyle G^{ab}}$.

Данное свойство позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между всеми гомоморфизмами из группы ${\displaystyle G}$ в некоторую абелеву группу ${\displaystyle A}$ и всеми гомоморфизмами из абелианизации ${\displaystyle G^{ab}}$ в ${\displaystyle A}$. При таком соответствии каждому гомоморфизму ${\displaystyle g\colon G^{ab}\to A}$ сопоставляется композиция ${\displaystyle g\circ {\rm {ab}}\colon G\to A}$. Условие биективности данного соответствия эквивалентно универсальному свойству абелианизации.

Указанное соответствие осуществляет изоморфизм групп гомоморфизмов:

${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,A)\cong \mathrm {Hom} (G^{ab},A)}$.

С точки зрения теории категорий данный изоморфизм означает, что функтор абелианизации является левым сопряжённым к забывающему функтору из категории абелевых групп в категорию всех групп.

Абелианизация является полезным инструментом в алгебраической топологии. Так, абелианизация фундаментальной группы любого линейно связного топологического пространства изоморфна его первой группе гомологий с целыми коэффициентами^[1]:

${\displaystyle \pi _{1}(X)^{ab}\cong H_{1}(X,\mathbb {Z} )}$.

В частности, данный изоморфизм применим при вычислении гомологий групп. А именно, первая группа гомологий с целыми коэффициентами группы ${\displaystyle G}$ изоморфна её абелианизации: ${\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z} )\cong G^{ab}}$.

Данные соотношения являются основой для аналогии, гласящей, что теория гомологий является абелианизацией теории гомотопий. Точный смысл данному утверждению можно придать с помощью теоремы Гуревича и теоремы Дольда — Тома^[англ.].

Абелианизация свободной группы ${\displaystyle F_{n}}$ ранга ${\displaystyle n}$ изоморфна свободной абелевой группе ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ того же ранга. Гомоморфизм абелианизации ${\displaystyle F_{n}\to \mathbb {Z} ^{n}}$ сопоставляет каждому элементу упорядоченный набор из его экспоненциальных сумм по базисным образующим, то есть набор сумм степеней соответствующих символов в его записи. Таким образом, коммутант свободной группы состоит из тех элементов, у которых экспоненциальная сумма по каждой образующей равна нулю.

Абелианизация полной линейной группы ${\displaystyle {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {R} )}$ изоморфна мультипликативной группе ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ast }}$ поля ${\displaystyle \mathbb {R} }$ вещественных чисел. Гомоморфизм абелианизации ${\displaystyle {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{\ast }}$ совпадает с определителем. В частности, коммутант группы ${\displaystyle {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {R} )}$ совпадает со специальной линейной группой ${\displaystyle {\rm {SL}}_{n}(\mathbb {R} )}$. Аналогичное верно для полных линейных групп над произвольным полем, за исключением случая ${\displaystyle {\rm {GL}}_{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$^[2].

Абелианизация группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ изоморфна бесконечной циклической группе ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Гомоморфизм абелианизации ${\displaystyle B_{n}\to \mathbb {Z} }$ сопоставляет косе её экспоненциальную сумму. В частности, коммутант группы кос состоит из тех кос, у которых экспоненциальная сумма равна нулю.

• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И.. Основы теории групп (рус.). — 4. — Наука, 1996. — 288 с. — ISBN 502014634X.
• Хатчер А. Алгебраическая топология (рус.). — М.: МЦНМО, 2011. — 689 с. — ISBN 978-5-940-57-748-5.