Автономная система дифференциальных уравнений

Автономная система дифференциальных уравнений (другое название: стационарная система дифференциальных уравнений) — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда в нее явно не входит независимое переменное $t$ .

Автономная система в нормальном виде (её также называют динамической системой) имеет вид:

{\frac {dx_{k}}{dt}}=f_{k}(x_{1},...,x_{n}),\,k=1,...,n

или в векторной записи:

{\frac {d{\bar {x}}}{dt}}={\bar {f}}({\bar {x}})

Приведение к автономному виду

Любую систему дифференциальных уравнений можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию $x_{n+1}$ , заменив ею аргумент $t$ там, где он входит явно, и дополнив систему ещё одним уравнением ${\frac {dx_{n+1}}{dt}}=1$ . Такая замена, однако, имеет преимущественно теоретическое значение, так как увеличивает размерность системы с $n$ на $n+1$ , что усложняет структуру семейства решений. Встречается, впрочем, и практический интерес такой замены. В численных методах для жестких систем бывает удобно перейти к аргументу «длина дуги», это производится следующим соотношением $dl={\sqrt {dt^{2}+\sum \limits _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}}}$ , которое, фактически, является длиной дуги интегральной кривой в n+1-мерном пространстве.

Свойства автономной системы

Если ${\bar {x}}={\bar {x}}(t)$ — решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, то есть процессы, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, то есть процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, то есть $x_{1},\dots ,x_{n}$ , и не зависят от выбора начального значения аргумента $t$ .

См. также

Ссылки

В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Дифференциальное уравнение</span> уравнение, в котором есть производные от неизвестной функции

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, которое помимо функции содержит её производные. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен. Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным. Например, $\text{[math]}$ не является дифференциальным уравнением.

Динамическая система — множество элементов, для которого задана функциональная зависимость между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. Данная математическая абстракция позволяет изучать и описывать эволюцию систем во времени.

Производная — фундаментальное математическое понятие, используемое в различных вариациях (обобщениях) во многих разделах математики. Это базовая конструкция дифференциального исчисления, допускающая много вариантов обобщений, применяемых в математическом анализе, дифференциальной топологии и геометрии, алгебре.

Опера́тор — математическое отображение между множествами, в котором каждое из них наделено какой-либо дополнительной структурой. Понятие оператора используется в различных разделах математики для отличия от другого рода отображений ; точное значение зависит от контекста, например в функциональном анализе под операторами понимают отображения, ставящие в соответствие функции другую функцию.

Лагранжиа́н, фу́нкция Лагра́нжа $\text{[math]}$ динамической системы, является функцией обобщённых координат $\text{[math]}$ и описывает развитие системы. Например, уравнения движения в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как

\text{[math]}

Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации и совместно с принципом стационарности действия используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Гамильто́нова меха́ника является одной из формулировок классической механики. Предложена в 1833 году Уильямом Гамильтоном. Она возникла из лагранжевой механики, другой формулировки классической механики, введённой Лагранжем в 1788 году. Гамильтонова механика может быть сформулирована без привлечения лагранжевой механики с использованием симплектических многообразий и пуассоновых многообразий.

Обыкновенное дифференциальное уравне́ние (ОДУ) — дифференциальное уравнение для функции от одной переменной Таким образом, ОДУ — уравнения вида

\text{[math]}

Преобразова́ние Лапла́са (ℒ) — интегральное преобразование, связывающее функцию $\text{[math]}$ комплексного переменного (изображение) с функцией $\text{[math]}$ вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Отклонение решений автономной системы дифференциальных уравнений в векторном виде $\text{[math]}$ с однозначной разрешимостью задачи Коши $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , вызванное возмущением $\text{[math]}$ начального значения $\text{[math]}$ — функция

Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.

Нормальная форма дифференциальных уравнений есть наипростейшая эквивалентная форма исходных уравнений. Нормальная форма получается с помощью специальных замен зависимых и независимых переменных задачи с целью максимального упрощения структуры уравнений. В математике эти замены переменных связаны с инфинитезимальными преобразованиями групп Ли. В физике вопросы, связанные с нормальной формой, получили отражение в теореме Эмми Нётер.

В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид

\text{[math]}

Многомерный анализ является обобщением дифференциального и интегрального исчислений для случая нескольких переменных.

Уравнение Рикка́ти — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

\text{[math]}

Оптимальное управление — задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы.

В теории устойчивости решений дифференциальных уравнений функция Ляпунова — скалярная функция, используемая для исследования устойчивости решений обыкновенного дифференциального уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью второго (прямого) метода Ляпунова.

Групповой анализ дифференциальных уравнений — раздел математики, изучающий свойства симметрии дифференциальных уравнений относительно различных преобразований зависимых и независимых переменных. Включает в себя методы и прикладные аспекты дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли, вариационного исчисления и является, в свою очередь, эффективным инструментом исследования в теории ОДУ, ДУЧП и математической физике.

Метод функции Грина — метод решения линейного дифференциального уравнения, позволяет посредством нахождения соответствующей оператору этого уравнения функции Грина практически напрямую получить частное решение. Эффективность определяется возможностью записать функцию Грина в явном виде.

Эволюцио́нный проце́сс ― процесс, обладающий свойством детерминированности, конечномерности и дифференцируемости.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.