Аддитивная энергия

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Аддитивная энергия — численная характеристика подмножества группы, иллюстрирующая структурированность множества относительно групповой операции. Термин введён Теренсом Тао и Ван Ву[1].

Определение

Пусть  — группа.

Аддитивная энергия множеств и обозначается как и равна[2] количеству решений следующего уравнения:

Аналогично можно определить мультипликативную энергию (например. в кольце) как количество решений уравнения:

Экстремальные значения

Своего наименьшего значения достигает, когда все суммы различны (т.к., тогда уравнение выполняется только при ) — например, когда и  — множество различных образующих группы из какого-то минимального порождающего множества. Тогда

Наибольшее значение достигается, когда и является подгруппой . В этом случае для любого число решений уравнения равно , так что

Соответственно, промежуточные величины порядка роста между и можно рассматривать как больший или меньший показатель близости структуры к структуре подгруппы. Для некоторых групп определённые ограничения на аддитивную энергию позволяет доказывать структурные теоремы о существовании достаточно больших подгрупп внутри (или какого-то производного от него множества) и о вложимости (или какого-то производного от него множества) в достаточно маленькие подгруппы .[3] Ограничения на для этих теорем связаны с показателем кручения группы и отдельных её образующих. Однако для циклических групп и групп без кручения существуют аналогичные теоремы, рассматривающие вместо подгрупп обобщённые арифметические прогрессии.

Основные свойства

, где [2]

Для кольца вычетов по простому модулю аддитивную энергию можно выразить через тригонометрические суммы. Обозначим . Тогда

Приложения

Аддитивная и мультипликативная энергии используются в аддитивной и арифметической комбинаторике для анализа комбинаторных сумм и произведений множеств , в частности, для доказательства теоремы сумм-произведений.

Старшие энергии

Существуют два основных обобщения уравнения, определяющего аддитивную энергию - по количеству слагаемых и по количеству равенств:

Они называются старшими энергиями[4] и иногда возможно получить оценки на них, не получая оценок на обычную аддитивную энергию.[5][6] В то же время неравенство Гёльдера позволяет (со значительным ухудшением) оценивать обычную энергию через старшие.

Для параметра в иногда рассматриваются и вещественные, а не только целые числа (просто через подстановку в последнее выражение).[7]

См. также

Литература

Примечания