Аксиоматика Бахмана

Аксиоматика Бахмана — система аксиом нейтральной и Евклидовой геометрий, построенная на понятии групп движений. Предложенная Фридрихом Бахманом.^[1]

Переместительность двух элементов в группе, то есть выполнение тождества ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ будет обозначаться ${\displaystyle a|b}$; при этом ${\displaystyle a,b|c,d}$ означает одновременное выполнение ${\displaystyle a|c}$, ${\displaystyle a|d}$, ${\displaystyle b|c}$ и ${\displaystyle b|d}$.

Дана группа ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ с выделенной инвариантной системой образующих ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ состоящая из инволютивных элементов. Элементы из ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ обозначаются малыми латинскими буквами. Те инволютивные элементы из ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$, которые представимы как произведение двух элементов из ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ (то есть элементы вида ${\displaystyle a\cdot b}$, где ${\displaystyle a,b\in {\mathfrak {S}}}$) обозначаются большими латинскими буквами.

Аксиома 1. Для любых ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$ найдется ${\displaystyle g}$ такой, что ${\displaystyle P,Q|g}$.

Аксиома 2. Из ${\displaystyle P,Q|g,h}$ следует, что ${\displaystyle P=Q}$ или ${\displaystyle g=h}$.

Аксиома 3. Если ${\displaystyle a,b,c|P}$, то существует элемент ${\displaystyle d}$ такой,что ${\displaystyle a\cdot b\cdot c=d}$.

Аксиома 4. Если ${\displaystyle a,b,c|g}$, то существует элемент ${\displaystyle d}$ такой,что ${\displaystyle a\cdot b\cdot c=d}$.

Аксиома D. Существуют ${\displaystyle g,h,j}$ такие, что ${\displaystyle g|h}$, и не имеет места ни одно из соотношений ${\displaystyle j|g}$, ${\displaystyle j|h}$, ${\displaystyle j|g\cdot h}$.

Этой системе аксиом удовлетворяют группы евклидовой и неевклидовых плоскостей, если принять за ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ множество осевых симметрии. При этом те инволютивные элементы группы, которые представимы как произведение двух элементов из ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$, окажутся при этом центральными симметриями.

Таким образом множество ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ можно отождествить с множеством прямых на плоскости, а множество инволютивных элементов группы представимых как произведение двух элементов из ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ с множеством точек.

При этом,

• соотношение ${\displaystyle P|a}$ означает то что точка ${\displaystyle P}$ лежит на прямой ${\displaystyle a}$.
• соотношение ${\displaystyle a|b}$ означает то что прямая ${\displaystyle a}$ перпендикулярна прямой ${\displaystyle b}$;
  • в этом случае ${\displaystyle P=a\cdot b}$ есть точка пересечения ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

Система для евклидовой геометрии пополняется двумя аксиомами

Аксиома R. Из ${\displaystyle a,b|c}$ и ${\displaystyle a|d}$ следует ${\displaystyle b|d}$.

Аксиома V. Для любых ${\displaystyle a,b}$ всегда найдется ${\displaystyle C}$, что ${\displaystyle a,b|C}$, или найдется такая прямая ${\displaystyle c}$, что ${\displaystyle a,b|c}$.