Аксиомы Уайтмана

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Аксиомы Уайтмана — исходные теоретические положения, лежащие в основе аксиоматического подхода в квантовой теории поля, использующего математическое описание квантованных полей при помощи представления Гейзенберга[1][2] и вакуумных средних от произведений операторов поля (функций Уайтмана)[3][2].

Названы в честь Артура Уайтмана[англ.], который сформулировал аксиомы в 1950-х годах[4][5][6]. Широкую известность они получили в 1960-х годах[7] после того, как на их основе была разработана теория рассеяния Хаага — Рюеля[8][9][10].

Основные идеи

Физические состояния описываются единичными лучами (векторами с единичной нормой и отличающимся только умножением на комплексное число модуля единица) в сепарабельном гильбертовом пространстве.[11] Их релятивистские преобразования задаются унитарным представлением[англ.] группы Пуанкаре[12][13].

Квантовые поля описываются операторными обобщёнными функциями, удовлетворяющим ковариантным представлениям группы Пуанкаре[англ.][13].

Предположение спектральности означает, что спектр оператора четырёхимпульса не выходит за пределы светового конуса будущего[12][14].

Для избегания сингулярностей при описании физических полей используется идея их размазывания при помощи финитной функции[15]. Поскольку размазанные поля могут достигать произвольно больших значений, для их описания используются неограниченные операторы[англ.] с математически строго указанными областями их определения[15][13].

Аксиомы Уайтмана используют принцип локальности или микропричинности, постулируя либо коммутативность, либо антикоммутативность между операторами, описывающими компоненты полей, заданных в точках пространства-времени, разделенных пространственноподобными интервалами [16][17].

Постулируется существование, единственность и пуанкаре-инвариантность вакуума, описываемого вакуумным вектором[13]. Вакуум является «циклическим», то есть набор всех векторов, получаемых путем действия на вакуумное состояние полиномов, составленных из операторов размазанного поля, является плотным подмножеством всего гильбертова пространства{[18][17].

Аксиомы

W0 (предположения релятивистской квантовой механики)

Чистые состояния физической системы задаются единичными векторами в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве [19][11]. Скалярное произведение векторов гильбертова пространства и обозначается как [1], а норма обозначается как [20]. Вероятность перехода между двумя чистыми состояниями, заданными ненулевыми векторами и определена как: . Релятивистский закон преобразования состояний физической системы задается унитарным представлением спинорной группы Пуанкаре[21][13]. Спектр оператора энергии-импульса содержится в световом конусе будущего:[13]

Существует единственное состояние, называемое вакуумом, представленное лучом в гильбертовом пространстве, инвариантное относительно действия группы Пуанкаре.[12][13]

W1 (предположения относительно области определения и непрерывности поля)

Для каждой финитной функции f, то есть для функции с компактным носителем и непрерывными производными любого порядка,[22] существует набор операторов , которые вместе со своими сопряженными, определены на плотном подмножестве гильбертова пространства состояний, содержащем вакуум.[23] Условие цикличности вакуума: множество линейных комбинаций векторов, порожденных полиномами, составленными из операторов поля, действующими на вакуум, плотно в гильбертовом пространстве.[17][18]

W2 (закон преобразования поля)

Поля ковариантны относительно действия группы Пуанкаре и преобразуются согласно некоторому представлению S группы SL(2, C):[13][24]

W3 (локальная коммутативность или микроскопическая причинность)

Если носители двух полей разделены пространственноподобным интервалом, то поля либо коммутируют, либо антикоммутируют.[17][16]

Следствия аксиом

Из аксиом Уайтмана следуют некоторые общие теоремы:

  • Теорема CPT — существует общая симметрия при изменении четности, обращении частица-античастица и инверсии времени (как выяснилось, ни одна из этих симметрий сама по себе не существует в природе).
  • Связь между спином и статистикой — поля с полуцелым спином антикоммутируют, а поля с целочисленным спином коммутируют (аксиома W3).

Существование теорий, удовлетворяющих аксиомам Уайтмана

Можно обобщить аксиомы Уайтмана на их применение в пространстве-времени размерности, отличной от 4. Были построены теории взаимодействующих полей, удовлетворяющие аксиомам Уайтмана, в пространстве-времени размерности 2[26] и 3[27]. В настоящее время отсутствует доказательство, что аксиомы Уайтмана могут быть выполнены для теорий взаимодействующих полей в пространстве-времени размерности 4[27]. Таким образом, аксиомы Уайтмана не могут использоваться в качестве математически строгой основы Стандартной модели физики элементарных частиц. Назначен приз в миллион долларов[англ.] за доказательство того, что аксиомы Уайтмана могут быть выполнены для калибровочных теорий с дополнительным требованием предсказания массы легчайшей элементарной частицы.

См. также

Дальнейшее чтение

  • А. С. Уайтман[англ.], «Hilbert’s sixth problem: Mathematical treatment of the axioms of physics», in F. E. Browder (ed.): Vol. 28 (part 1) of Proc. Symp. Pure Math., Amer. Math. Soc., 1976, pp. 241—268.
  • Р. Йост Общая теория квантованных полей. — М., Мир, 1967.

Примечания

  1. 1 2 PCT, спин и статистика и всё такое, 1966, с. 15.
  2. 1 2 Общие принципы квантовой теории поля, 1987, с. 6.
  3. PCT, спин и статистика и всё такое, 1966, с. 135,148.
  4. Wightman, A. S. (1956). "Quantum Field Theory in Terms of Vacuum Expectation Values". Physical Review. 101: 860—866. doi:10.1103/PhysRev.101.860.
  5. ’’A. S. Wightman’’: Les Problèmes mathématiques de la théorie quantique des champs, Centre National de la Recherche Scientifique, Paris (1959), Seite 11–19
  6. ’’A. S. Wightman’’: Cours de la Faculté des Sciences de l’Université de Paris (1957/58)
  7. PCT, спин и статистика и всё такое, 1966, с. 7—9.
  8. Haag, R. (1958). "Quantum Field Theories with Composite Particles and Asymptotic Conditions". Physical Review. 112: 669—673. doi:10.1103/PhysRev.112.669.
  9. Ruelle, David (1962). "On the asymptotic condition in quantum field theory". Helvetica Physica Acta. 35: 147—163. doi:10.5169/seals-113272.
  10. Общие принципы квантовой теории поля, 1987, с. 433—447.
  11. 1 2 PCT, спин и статистика и всё такое, 1966, с. 15,16,136.
  12. 1 2 3 PCT, спин и статистика и всё такое, 1966, с. 136.
  13. 1 2 3 4 5 6 7 8 Общие принципы квантовой теории поля, 1987, с. 294.
  14. Общие принципы квантовой теории поля, 1987, с. 294.
  15. 1 2 PCT, спин и статистика и всё такое, 1966, с. 135.
  16. 1 2 PCT, спин и статистика и всё такое, 1966, с. 139,140.
  17. 1 2 3 4 Общие принципы квантовой теории поля, 1987, с. 295.
  18. 1 2 PCT, спин и статистика и всё такое, 1966, с. 142.
  19. Общие принципы квантовой теории поля, 1987, с. 213.
  20. PCT, спин и статистика и всё такое, 1966, с. 16.
  21. PCT, спин и статистика и всё такое, 1966, с. 24,28,29,136.
  22. >Hunter, John K. Applied analysis. — Singapore : World Scientific, 2001. — ISBN 978-981-281-067-0.
  23. PCT, спин и статистика и всё такое, 1966, с. 136,137.
  24. PCT, спин и статистика и всё такое, 1966, с. 138.
  25. Eberhard, Phillippe H.; Ross, Ronald R. (1989), "Quantum field theory cannot provide faster than light communication", Foundations of Physics Letters, 2 (2): 127—149, Bibcode:1989FoPhL...2..127E, doi:10.1007/bf00696109, S2CID 123217211
  26. Общие принципы квантовой теории поля, 1987, с. 403—430.
  27. 1 2 Общие принципы квантовой теории поля, 1987, с. 7.

Литература