Алгоритм Берлекэмпа — Рабина

Алгоритм Берлекэмпа — Рабина (также метод Берлекэмпа) — вероятностный метод нахождения корней многочленов над полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$с полиномиальной сложностью. Метод был описан американским математиком Элвином Берлекэмпом в 1970 году^[1] в качестве побочного к алгоритму факторизации многочленов над конечными полями и позже (в 1979 году) был доработан Михаэлем Рабином для случая произвольных конечных полей^[2]. Изначальная версия алгоритма, предложенная Берлекэмпом в 1967 году^[3], не была полиномиальной^[4]. Опубликованная в 1970 году на основе результатов Цассенхауза^[англ.] версия алгоритма работала с большими значениями ${\displaystyle p}$, в ней заглавный метод использовался в качестве вспомогательного^[1]. На момент публикации метод был распространён в профессиональной среде, однако редко встречался в литературе^[4].

Метод был предложен Элвином Берлекэмпом в его работе по факторизации многочленов над конечными полями^[1]. В ней факторизация многочлена на неприводимые сомножители над полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}$ сводится к нахождению корней некоторых других многочленов над полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. При этом в оригинальной работе отсутствовало доказательство корректности алгоритма^[2]. Алгоритм был доработан и обобщён на случай произвольных конечных полей Михаэлем Рабином^[2]. В 1986 году Рене Перальта описал похожий алгоритм^[5], решающий задачу нахождения квадратного корня в поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$^[6], а в 2000 году метод Перальты был обобщён для решения кубических уравнений^[7].

В алгоритме Берлекэмпа многочлен ${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}$ сперва представляется в виде произведения ${\displaystyle f(x)=h_{1}(x)h_{2}(x)\dots h_{n}(x)}$, где ${\displaystyle h_{i}}$ — произведение ${\displaystyle r_{i}}$ многочленов степени ${\displaystyle i}$. Затем факторизация каждого такого многочлена ${\displaystyle h_{i}(x)}$ степени ${\displaystyle ir_{i}}$ сводится к поиску корней нового многочлена ${\displaystyle H(x)}$ степени ${\displaystyle r_{i}}$. В статье, вводящей алгоритм факторизации, было также предложено три метода для поиска корней многочлена в поле Галуа ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}$. Первые два сводят нахождение корней в поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}$ к поиску корней в поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. Третий метод, являющийся предметом данной статьи, решает задачу поиска корней в поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, что вместе с двумя другими решает задачу факторизации^[1].

Версия алгоритма факторизации, предложенная Берлекэмпом в его первой работе в 1967 г.^[3], работала за ${\displaystyle O(n^{3}+prn)}$, где ${\displaystyle r}$ — количество неприводимых сомножителей многочлена. Таким образом, алгоритм являлся неполиномиальным и был непрактичным в случае, когда простое число ${\displaystyle p}$ было достаточно большим. В 1969 г. эта проблема была решена Хансом Цассенхаузом^[англ.], показавшим, как свести узкое место алгоритма к задаче поиска корней некоторого многочлена^[4]. В 1970 г. статья Берлекэмпа была переиздана уже с учётом решений Цассенхауза^[1].

В 1980 г. Михаэль Рабин провёл строгий анализ алгоритма, обобщил его для работы с конечным полями вида ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}$ и доказал, что вероятность ошибки одной итерации алгоритма не превосходит ${\displaystyle 1/2}$^[2], а в 1981 г. Михаэль Бен-Ор усилил эту оценку до ${\textstyle 1-1/2^{k-1}+O\left(1/{\sqrt {p}}\right)}$, где ${\displaystyle k}$ — количество различных корней многочлена ${\displaystyle f(x)}$^[8]. Вопрос существования полиномиального детерминированного алгоритма для нахождения корней многочлена над конечным полем остаётся открытым — основные алгоритмы факторизации многочленов, алгоритм Берлекэмпа и Алгоритм Кантора — Цассенхауза^[англ.] являются вероятностными. В 1981 году Поль Камьон^[фр.] показал^[9], что такой алгоритм существует для любого наперёд заданного числа ${\displaystyle p}$, однако этот результат исключительно теоретический и вопрос о возможности построения описанных им множеств на практике остаётся открытым^[10].

В первом издании второго тома «Искусства программирования» про получисленные алгоритмы Дональд Кнут пишет, что аналогичные процедуры факторизации были известны к 1960 г., однако редко встречались в открытом доступе^[4]. Один из первых опубликованных примеров использования метода можно обнаружить в работе Голомба, Велша^[англ.] и Хейлса^[англ.] от 1959 года о факторизации трёхчленов над ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$, где рассматривался частный случай ${\displaystyle p=2,z=1}$^[11].

Пусть ${\displaystyle p}$ — нечётное простое число. Рассмотрим многочлен ${\textstyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ остатков по модулю ${\displaystyle p}$. Необходимо найти все числа ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}}$ такие что ${\textstyle f(\lambda _{i})\equiv 0{\pmod {p}}}$ для всех возможных ${\displaystyle i}$^[2][12].

Пусть ${\textstyle f(x)=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})\dots (x-\lambda _{n})}$. Нахождение всех корней такого многочлена равносильно его разбиению на линейные множители. Чтобы найти такое разбиение, достаточно научиться разбивать многочлен на любые два множителя, а затем запускаться в них рекурсивно. Для этого вводится в рассмотрение многочлен ${\textstyle f_{z}(x)=f(x-z)=(x-\lambda _{1}-z)(x-\lambda _{2}-z)\dots (x-\lambda _{n}-z)}$, где ${\displaystyle z}$ — случайное число из ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. Если такой многочлен можно представить в виде произведения ${\displaystyle f_{z}(x)=p_{0}(x)p_{1}(x)}$, то в терминах исходного многочлена это значит, что ${\displaystyle f(x)=p_{0}(x+z)p_{1}(x+z)}$, что даёт разбиение на множители исходного многочлена ${\displaystyle f(x)}$^[1][12].

По критерию Эйлера для любого монома ${\displaystyle (x-\lambda )}$ выполнено ровно одно из следующих свойств^[1]:

1. Одночлен равен ${\displaystyle x}$, если ${\displaystyle \lambda =0}$,
2. Одночлен делит ${\textstyle g_{0}(x)=(x^{(p-1)/2}-1)}$, если ${\displaystyle \lambda }$ — квадратичный вычет по модулю ${\displaystyle p}$,
3. Одночлен делит ${\textstyle g_{1}(x)=(x^{(p-1)/2}+1)}$, если ${\displaystyle \lambda }$ — квадратичный невычет по этому модулю.

Таким образом, если ${\displaystyle f_{z}(x)}$ не делится на ${\displaystyle x}$, что можно проверить отдельно, то ${\displaystyle f_{z}(x)}$ равно произведению наибольших общих делителей ${\displaystyle \gcd(f_{z}(x);g_{0}(x))}$ и ${\displaystyle \gcd(f_{z}(x);g_{1}(x))}$^[12].

Написанное выше приводит к следующему алгоритму^[1]:

1. В явном виде вычисляются коэффициенты многочлена ${\displaystyle f_{z}(x)=f(x-z)}$,
2. Вычисляются остатки от деления ${\textstyle x,x^{2},x^{2^{2}},x^{2^{3}},x^{2^{4}},\dots ,x^{2^{\lfloor \log _{2}p\rfloor }}}$ на ${\displaystyle f_{z}(x)}$ последовательным возведением в квадрат и взятием остатка от ${\displaystyle f_{z}(x)}$,
3. Двоичным возведением в степень вычисляется остаток от деления ${\textstyle x^{(p-1)/2}}$ на ${\textstyle f_{z}(x)}$ с использованием посчитанных на прошлом шаге многочленов,
4. Если ${\textstyle x^{(p-1)/2}\not \equiv \pm 1{\pmod {f_{z}(x)}}}$, то указанные выше ${\displaystyle \gcd }$ дают нетривиальное разбиение ${\displaystyle f_{z}(x)}$ на множители,
5. В противном случае все корни ${\displaystyle f_{z}(x)}$ являются вычетами или невычетами одновременно и стоит попробовать другое значения ${\displaystyle z}$.

Если ${\displaystyle f(x)}$ также делится на некоторый многочлен ${\displaystyle g(x)}$, не имеющий корней в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, то при подсчёте ${\displaystyle \gcd }$ с ${\displaystyle g_{0}(x)}$ и ${\displaystyle g_{1}(x)}$ будет получено разбиение бесквадратного многочлена ${\displaystyle f_{z}(x)/g_{z}(x)}$ на нетривиальные сомножители, поэтому алгоритм позволяет найти все корни любых многочленов над ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, а не только тех, которые разбиваются в произведение мономов^[12].

Пусть нужно решить сравнение ${\textstyle x^{2}\equiv a{\pmod {p}}}$, решениями которого являются элементы ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle -\beta }$ соответственно. Их нахождение эквивалентно факторизации многочлена ${\textstyle f(x)=x^{2}-a=(x-\beta )(x+\beta )}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. В таком частном случае задача упрощается, так как для решения достаточно посчитать только ${\displaystyle \gcd(f_{z}(x);g_{0}(x))}$. Для полученного многочлена будет верно ровно одно из утверждений:

1. НОД равен ${\displaystyle 1}$, из чего следует, что ${\displaystyle z+\beta }$ и ${\displaystyle z-\beta }$ являются квадратичными невычетами одновременно,
2. НОД равен ${\displaystyle f_{z}(x)}$, из чего следует, что оба числа являются квадратичными вычетами,
3. НОД равен одночлену ${\displaystyle (x-t)}$, из чего следует, что ровно одно число из двух является квадратичным вычетом.

В третьем случае полученный одночлен должен быть равен или ${\displaystyle (x-z-\beta )}$, или ${\displaystyle (x-z+\beta )}$. Это позволяет записать решение в виде ${\textstyle \beta =(t-z){\pmod {p}}}$^[1].

Пусть нужно решить сравнение ${\textstyle x^{2}\equiv 5{\pmod {11}}}$. Для этого нужно факторизовать ${\displaystyle f(x)=x^{2}-5=(x-\beta )(x+\beta )}$. Рассмотрим возможные значения ${\displaystyle z}$:

1. Пусть ${\displaystyle z=3}$. Тогда ${\displaystyle f_{z}(x)=(x-3)^{2}-5=x^{2}-6x+4}$, откуда ${\displaystyle \gcd(x^{2}-6x+4;x^{5}-1)=1}$. Оба числа ${\displaystyle 3\pm \beta }$ являются невычетами и нужно брать другое ${\displaystyle z}$.

1. Пусть ${\displaystyle z=2}$. Тогда ${\displaystyle f_{z}(x)=(x-2)^{2}-5=x^{2}-4x-1}$, откуда ${\textstyle \gcd(x^{2}-4x-1;x^{5}-1)\equiv x-9{\pmod {11}}}$. Отсюда ${\textstyle x-9=x-2-\beta }$, значит ${\displaystyle \beta \equiv 7{\pmod {11}}}$ и ${\textstyle -\beta \equiv -7\equiv 4{\pmod {11}}}$.

Проверка показывает, что действительно ${\textstyle 7^{2}\equiv 49\equiv 5{\pmod {11}}}$ и ${\textstyle 4^{2}\equiv 16\equiv 5{\pmod {11}}}$.

Алгоритм находит разбиение ${\displaystyle f_{z}(x)}$ на нетривиальные множители во всех случаях, за исключением тех, в которых все числа ${\displaystyle z+\lambda _{1},z+\lambda _{2},\dots ,z+\lambda _{n}}$ являются вычетами или невычетами одновременно. Согласно теории циклотомии^[1], вероятность такого события для случая, когда ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$ сами одновременно являются вычетами или невычетами одновременно (то есть, когда ${\displaystyle z=0}$ не подходит для нашей процедуры), можно оценить как ${\displaystyle 1/2^{k-1}}$^[8], где ${\displaystyle k}$ — количество различных чисел среди ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$^[1]. Таким образом, вероятность ошибки алгоритма не превосходит ${\displaystyle 1/2}$.

Из теории конечных полей известно, что если степень неприводимого многочлена ${\displaystyle q(x)}$ равна ${\displaystyle d}$, то такой многочлен является делителем ${\displaystyle x^{p^{d}}-x}$ и не является делителем ${\displaystyle x^{p^{t}}-x}$ для ${\displaystyle t<d}$.

Таким образом, последовательно рассматривая многочлены ${\displaystyle h_{i}(x)=\gcd(f_{i}(x),x^{p^{i}}-1)}$ где ${\displaystyle f_{1}(x)=f(x)}$ и ${\displaystyle f_{i}(x)=f_{i-1}(x)/h_{i-1}(x)}$ для ${\displaystyle i>1}$, можно разбить многочлен ${\displaystyle f(x)}$ на множители вида ${\displaystyle f(x)=h_{1}(x)\dots h_{n}(x)}$, где ${\displaystyle h_{i}(x)}$ — это произведение всех неприводимых многочленов степени ${\displaystyle i}$, которые делят многочлен ${\displaystyle f(x)}$. Зная степень ${\displaystyle h_{i}(x)}$, можно определить количество таких многочленов, равное ${\displaystyle r_{i}=\deg h_{i}(x)/i}$. Пусть ${\displaystyle h_{i}(x)=p_{1}(x)\dots p_{r_{i}}(x)}$. Если рассмотреть многочлен ${\displaystyle p_{j}(x-z)}$, где ${\textstyle z\in \mathbb {F} _{p}}$, то порядок такого многочлена ${\displaystyle d_{j}}$ в поле ${\textstyle \mathbb {F} _{p^{i}}}$ должен делить число ${\displaystyle p^{i}-1}$. Если ${\displaystyle d_{j}}$ не делится на ${\displaystyle d_{k}}$, то многочлен ${\textstyle x^{d_{j}}-x}$ делится на ${\textstyle p_{j}(x-z)}$, но не на ${\textstyle p_{k}(x-z)}$.

Исходя из этого Цассенхауз^[англ.] предложил искать делители многочлена ${\displaystyle h_{i}(x-z)}$ в виде ${\textstyle \gcd(h_{i}(x-z),x^{f}-1)}$, где ${\displaystyle f}$ — некоторый достаточно большой делитель ${\displaystyle p^{i}-1}$, например, ${\textstyle f={\frac {p^{i}-1}{2}}}$. В частном случае ${\displaystyle i=1}$ получается в точности метод Берлекэмпа как он описан выше^[4].

Поэтапно время работы одной итерации алгоритма можно оценить следующим образом, считая степень многочлена равной ${\displaystyle n}$:

1. Учитывая, что ${\textstyle (x-z)^{k}=\sum \limits _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}(-z)^{k-i}x^{i}}$ по формуле бинома Ньютона, переход от ${\displaystyle f(x)}$ к ${\displaystyle f(x-z)}$ делается за ${\displaystyle O(n^{2})}$,
2. Произведение многочленов и взятие остатка от одного многочлена по модулю другого делается за ${\textstyle O(n^{2})}$, поэтому вычисление ${\textstyle x^{2^{k}}{\bmod {f}}_{z}(x)}$ делается за ${\textstyle O(n^{2}\log p)}$,
3. Аналогично предыдущему пункту, двоичное возведение в степень делается за ${\displaystyle O(n^{2}\log p)}$,
4. Взятие ${\displaystyle \gcd }$ от двух многочленов по алгоритму Евклида делается за ${\displaystyle O(n^{2})}$.

Таким образом, одна итерация алгоритма может быть произведена за ${\displaystyle O(n^{2}\log p)}$ арифметических операций с элементами ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, а нахождение всех корней многочлена требует в среднем ${\displaystyle O(n^{2}\log n\log p)}$^[8]. В частном случае извлечения квадратного корня величина ${\displaystyle n}$ равна двум, поэтому время работы оценивается как ${\displaystyle O(\log p)}$ на одну итерацию алгоритма^[12].