Алгоритм Кули — Тьюки

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Алгоритм Ку́ли — Тью́ки — наиболее часто используемый алгоритм вычисления быстрого преобразования Фурье. Алгоритм позволяет выразить дискретное преобразование Фурье длины, равной произвольному составному числу , через определённое количество преобразований меньшей длины с помощью рекурсии, понижая таким образом сложность вычислений до для гладких . Назван в честь Дж. Кули[англ.] и Дж. Тьюки.

Основной алгоритм

Схема общего алгоритма Кули — Тьюки

Для произвольного натурального числа дискретным преобразованием Фурье комплексного вектора , где , называется комплексный вектор , где , компоненты которого задаются формулой

где .

Для построения алгоритма делается предположение, что для некоторых натуральных и и производится следующая замена индексов[1]:

в результате которой получается

Далее векторы входных и выходных данных преобразуются в двумерные массивы и , задающиеся равенствами

Стоит заметить, что компоненты упорядочены не так, как компоненты .

Далее пусть и . Очевидно, что . Тогда в терминах двумерных переменных формула преобразуется к виду[2]

Таким образом, вычисление преобразования длины сводится к выполнению следующих действий:

  1. Вычисление преобразований длины .
  2. Умножение на комплексные «поворачивающие» множители.
  3. Вычисление преобразований длины .

При этом вместо комплексных сложений и комплексных умножений исходной формулы итоговая схема содержит не более комплексных сложений и комплексных умножений[2].

Каждое из преобразований длины или можно вычислять с помощью различных быстрых алгоритмов, в частности, снова по вышеприведённой схеме. В этом случае преобразование длины может быть представлено в форме, требующей выполнения комплексных умножений[3].

Алгоритм по основанию два

Во многих приложениях длина преобразования равна степени двойки: . Тогда в вышеприведённой схеме возможны варианты или . В этом случае говорят об алгоритме Кули — Тьюки по основанию два[3] (англ. radix-2).

Если , то говорят об алгоритме Кули — Тьюки с прореживанием по времени[3]. В этом случае уравнения преобразуются к виду

Схема реализации операции «бабочки»

Если ввести обозначения и , то уравнения можно переписать как

Такая операция обычно называется «бабочкой».

Данная процедура может быть применена к входному вектору рекурсивно. На каждом шаге -точечное преобразование разбивается на два -точечных преобразования, которые, в свою очередь, разбиваются таким же образом до тех пор, пока длина преобразования не станет равна единице. Затем происходит обратный ход, на каждом шаге длины результатов преобразований удваиваются с помощью «бабочек». При такой реализации выполняется комплексных умножений и комплексных сложений.

Этот процесс является примером применения методики «разделяй и властвуй». При этом во многих реализациях прямой рекурсии избегают и вместо неё дерево вычислений проходится в порядке поиска в ширину.

Если , то говорят об алгоритме Кули — Тьюки с прореживанием по частоте[4]. В этом случае уравнения преобразуются к виду

Алгоритм Рейдера — Бреннера

Пусть

и пусть

С использованием формул алгоритма с прореживанием по частоте нетрудно убедиться, что выполняется следующее соотношение:

Такая модификация алгоритма по основанию два называется алгоритмом Рейдера — Бреннера. Она позволяет уменьшить вычислительную сложность за счёт более простых умножений на чисто мнимые константы [5]. Аналогичные формулы можно получить с использованием вещественных констант [6].

История

Алгоритм и его рекурсивная реализация были изобретены около 1805 года К. Гауссом при интерполировании траекторий астероидов Паллада и Юнона[7]. Тогда открытие не получило широкого распространения и было опубликовано лишь после смерти учёного на новой латыни. Результат Гаусса несколько раз переоткрывался в различных формах в течение последующих 150 лет и стал популярным после публикации в 1965 году статьи Дж. Кули[англ.] из IBM и Дж. Тьюки из Принстона, в которой алгоритм был в очередной раз переоткрыт, а также описывалась удобная реализация для ЭВМ[8].

Тот факт, что первооткрывателем алгоритма является Гаусс, был обнаружен лишь через несколько лет после публикации Кули и Тьюки. В своей статье они ссылались только на работу И. Дж. Гуда, в которой был описан алгоритм Гуда — Томаса.

Выражение преобразования Фурье длины через два преобразования длины иногда называют леммой Дэниэльсона[англ.]Ланцоша, так как оно было получено этими двумя авторами в 1942 году[9].

Примечания

  1. Блейхут, 1989, с. 129.
  2. 1 2 Блейхут, 1989, с. 130.
  3. 1 2 3 Блейхут, 1989, с. 133.
  4. Блейхут, 1989, с. 134.
  5. Блейхут, 1989, с. 138.
  6. Нуссбаумер, 1985, с. 92.
  7. Heideman, M. T., Johnson, D. H., Burrus, C. S.. Gauss and the history of the fast Fourier transform (англ.) // IEEE ASSP Magazine. — IEEE, 1984. — Vol. 1, iss. 4. — P. 14—21. — doi:10.1109/MASSP.1984.1162257. Архивировано 21 сентября 2023 года.
  8. Cooley, J. W., Tukey, J. W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series (англ.) // Mathematics of Computation. — 1965. — Vol. 19. — P. 297—301. — doi:10.1090/S0025-5718-1965-0178586-1. Архивировано 7 мая 2021 года.
  9. Danielson, G. C., Lanczos, C. Some improvements in practical Fourier analysis and their application to X-ray scattering from liquids (англ.) // Journal of the Franklin Institute. — 1942. — Vol. 233, iss. 4. — P. 365–380. — doi:10.1016/S0016-0032(42)90767-1.

Литература

  • Блейхут, Р.. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. — М.: Мир, 1989. — 448 с.
  • Нуссбаумер, Г.. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления свёрток. — М.: Радио и связь, 1985.
  • Рабинер, Л., Гоулд, Б.. Теория и применение цифровой обработки сигналов. — М.: Мир, 1978.

См. также