Алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса
Алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса (ЛЛЛ-алгоритм, LLL-алгоритм) — алгоритм редукции базиса решётки[англ.], разработанный Арьеном Ленстрой, Хендриком Ленстрой и Ласло Ловасом в 1982 году[1]. За полиномиальное время алгоритм преобразует базис на решётке (подгруппе ) в кратчайший почти ортогональный базис на этой же решётке. По состоянию на 2019 год алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса является одним из самых эффективных для вычисления редуцированного базиса в решётках больших размерностей. Он актуален прежде всего в задачах, сводящихся к поиску кратчайшего вектора решётки.
История
Алгоритм был разработан голландскими математиками Арьеном Ленстрой и Хендриком Ленстрой совместно с венгерским математиком Ласло Ловасом в 1982 году[1][2].
Основной предпосылкой для создания ЛЛЛ-алгоритма послужило то, что процесс Грама ― Шмидта работает только с векторами, компоненты которых являются вещественными числами. Для векторного пространства процесс Грама ― Шмидта позволяет преобразовать произвольный базис в ортонормированный («идеал», к которому стремится ЛЛЛ-алгоритм). Но процесс Грама ― Шмидта не гарантирует того, что на выходе каждый из векторов будет целочисленной линейной комбинацией исходного базиса. Таким образом, полученный в результате набор векторов может и не являться базисом исходной решётки. Это привело к необходимости создания специального алгоритма для работы с решётками[3].
Изначально алгоритм использовался для факторизации многочленов с целыми коэффициентами, вычисления диофантовых приближений вещественных чисел и для решения задач линейного программирования в пространствах фиксированной размерности, а впоследствии и для криптоанализа[4][2].
Редукция базиса
Решётка в евклидовом пространстве — это подгруппа группы , порожденная линейно независимыми векторами из , называемыми базисом решётки. Любой вектор решётки может быть представлен целочисленной линейной комбинацией базисных векторов[5]. Базис решётки определяется неоднозначно: на рисунке изображены два различных базиса одной и той же решётки.
Редукция базиса заключается в приведении базиса решётки к особому виду, удовлетворяющему некоторым свойствам. Редуцированный базис должен быть, по возможности, наиболее коротким среди всех базисов решётки и близким к ортогональному (что выражается в том, что итоговые коэффициенты Грама — Шмидта должны быть не больше )[3].
Пусть в результате преобразования базиса с помощью процесса Грама ― Шмидта получен базис , с коэффициентами Грама — Шмидта, определяемыми следующим образом:
- , для всех таких, что .
Тогда (упорядоченный) базис называется -ЛЛЛ-редуцированным базисом (где параметр находится в промежутке ), если он удовлетворяет следующим свойствам[3]:
- Для всех таких, что . (условие уменьшения размера)
- Для имеет место: . (условие Ловаса)
Здесь — норма вектора, — cкалярное произведение векторов.
Изначально Ленстра, Ленстра и Ловас в своей статье продемонстрировали работу алгоритма для параметра . Несмотря на то что алгоритм остаётся корректным и для , его работа за полиномиальное время гарантируется только для в промежутке [1].
Свойства редуцированного базиса
Пусть — сокращённый алгоритмом ЛЛЛ с параметром базис на решётке . Из определения такого базиса можно получить несколько свойств . Пусть — норма кратчайшего вектора решётки, тогда:
- Первый вектор базиса не может быть значительно длиннее кратчайшего ненулевого вектора:. В частности, для получается [6].
- Первый вектор базиса ограничен определителем решётки:. В частности, для получается [3].
- Произведение норм векторов не может быть сильно больше определителя решётки:. В частности, для [3].
Базис, преобразованный методом ЛЛЛ, почти самый короткий из всех возможных, в том смысле, что существуют абсолютные границы такие, что первый базисный вектор не более чем в раз длиннее самого короткого вектора решётки, аналогично, второй вектор базиса не более чем в раз превосходит второй кратчайший вектор решётки и так далее (что прямо следует из свойства 1)[6].
Алгоритм
Входные данные[7]:
- базис решётки (состоит из линейно независимых векторов),
- параметр c , чаще всего (выбор параметра зависит от конкретной задачи).
Последовательность действий[4]:
- Сначала создается копия исходного базиса, которая ортогонализуется для того, чтобы по ходу алгоритма текущий базис сравнивался с полученной копией на предмет ортогональности ().
- Если какой-либо коэффициент Грама — Шмидта (с ) по модулю больше , то проекция одного из векторов текущего базиса на вектор ортогонализованного базиса с другим номером составляет больше половины . Это говорит о том, что необходимо вычесть из вектора вектор , домноженный на округленный (округление нужно, так как вектор решётки остается вектором этой же решётки только при умножении на целое число, что следует из её определения). Тогда станет меньше , так как теперь проекция на будет меньше половины . Таким образом производится проверка соответствию 1-му условию из определения ЛЛЛ-редуцированного базиса.
- Пересчитывается для .
- Для проверяется 2-е условие, введенное авторами алгоритма как определение ЛЛЛ-редуцированного базиса[1]. Если условие не выполнено, то индексы проверяемых векторов меняются местами. И условие проверяется снова для того же вектора (уже с новым индексом).
- Пересчитываются для и для
- Если остался какой-либо , по модулю превышающий (уже с другим ), то надо вернуться к пункту 2.
- Когда все условия проверены и сделаны изменения, алгоритм завершает работу.
В алгоритме — округление по правилам математики. Процесс алгоритма, описанный на псевдокоде[7]:
ortho (выполнить процесс Грама — Шмидта без нормировки); определить , всегда подразумевая наиболее актуальные значения присвоить пока : для j от до 0: если , то: ; Обновить значения для ; конец условия; конец цикла; если , то: иначе: поменять и местами; Обновить значения для ; для ; ; конец условия; конец цикла.
Выходные данные: редуцированный базис: .
Вычислительная сложность
На входе имеется базис -мерных векторов с .
Если вектора базиса состоят из целочисленных компонент, алгоритм приближает кратчайший почти ортогональный базис за полиномиальное время , где — максимальная длина по евклидовой норме, то есть . Основной цикл алгоритма ЛЛЛ требует итераций и работает с числами длины . Так как на каждой итерации происходит обработка векторов длины , в итоге алгоритм требует арифметических операций. Применение наивных алгоритмов сложения и умножения целых чисел даёт в итоге битовых операций[3].
В случае, когда у решётки задан базис с рациональными компонентами, эти рациональные числа сначала необходимо преобразовать в целые путем умножения базисных векторов на знаменатели их компонент (множество знаменателей ограничено некоторым целым числом ). Но тогда операции будут производиться уже над целыми числами, не превышающими . В итоге будет максимум битовых операций. Для случая, когда решётка задана в , сложность алгоритма остается такой же, но увеличивается количество битовых операций. Так как в компьютерном представлении любое вещественное число заменяется рациональным в силу ограниченности битового представления, полученная оценка верна и для вещественных решёток[3].
В то же время для размерностей меньше чем 4 задача редукции базиса более эффективно решается алгоритмом Лагранжа[8].
Пример
Пример, приводимый Вибом Босмой[9].
Пусть базис решётки (как подгруппа ), задан столбцами матрицы:
По ходу алгоритма получается следующее:
- Процесс ортогонализации Грама-Шмидта
- , и
- , поэтому и , тогда и
- При имеем и , поэтому переходим к следующему шагу.
- При имеем:
- , значит , теперь
- , значит , теперь
- , поэтому и меняются местами.
- Теперь возвращаемся к шагу 1, при этом промежуточная матрица имеет вид
Выходные данные: базис, редуцированный методом Ленстры — Ленстры — Ловаса:
Применение
Алгоритм часто применяется в рамках метода MIMO (пространственное кодирования сигнала) для декодирования сигналов, полученных несколькими антеннами[10], и в криптосистемах с открытым ключом: криптосистемах, основанных на задаче о ранце[англ.], RSA с конкретными настройками, NTRUEncrypt и так далее. Алгоритм может быть использован для нахождения целых решений в разных задачах теории чисел, в частности для поиска корней многочлена в целых числах[11].
В процессе атак на криптосистемы с открытым ключом (NTRU) алгоритм используется для поиска кратчайшего вектора решётки, так как алгоритм в результате находит целый набор кратчайших векторов[12].
В криптоанализе RSA c малой CRT-экспонентой[англ.] задача, так же как в случае с NTRU, сводится к поиску кратчайшего вектора базиса решётки, который находится за полиномиальное (от размерности базиса) время[13].
В задачах о ранце, в частности, для атаки на криптосистемe Меркла — Хеллмана алгоритм ЛЛЛ ищет редуцированный базис решётки[14].
Вариации и обобщения
Использование арифметики на числах с плавающей запятой вместо точного представления рациональных чисел может значительно ускорить работу ЛЛЛ-алгоритма ценой совсем небольших численных ошибок[15].
Реализации алгоритма
Программно алгоритм реализован в следующем программном обеспечении:
- В fpLLL как автономная реализация[16];
- В GAP как функция
LLLReducedBasis
[17]; - В Macaulay2[англ.] как функция
LLL
в библиотекеLLLBases
[18]; - В Magma[англ.] как функции
LLL
иLLLGram
[19]; - В Maple как функция
IntegerRelations[LLL]
[20]; - В Mathematica как функция
LatticeReduce
[21]; - В Number Theory Library (NTL) как модуль
LLL
[22]; - В PARI/GP[англ.] как функция
qflll
[23]; - В Pymatgen как функция
analysis.get_lll_reduced_lattice
[24]; - В SageMath как метод
LLL
, реализованный в fpLLL и NTL[25].
Примечания
- ↑ 1 2 3 4 A. K. Lenstra, H. W. Lenstra Jr., L. Lovász. Factoring polynomials with rational coefficients // Mathematische Annalen. — 1982. — С. 515—534. — ISSN 4. — doi:10.1007/BF01457454.
- ↑ 1 2 The LLL Algorithm, 2010, 1 The History of the LLL-Algorithm.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Galbraith, Steven. 17. Lattice Reduction // Mathematics of Public Key Cryptography (англ.). — 2012. Архивировано 20 сентября 2015 года.
- ↑ 1 2 Xinyue, Deng. An Introduction to LLL Algorithm (англ.) // Massachusetts Institute of Technology. — P. 9—10. Архивировано 8 декабря 2019 года.
- ↑ Чередник И. В. Неотрицательный базис решетки // 3-е изд. — Дискрет. матем., 2014. — Т. 26. — С. 127—135.
- ↑ 1 2 Regev, Oded. Lattices in Computer Science: LLL Algorithm // New York University. Архивировано 20 марта 2021 года.
- ↑ 1 2 Hoffstein, Jeffrey; Pipher, Jill; Silverman, J.H. An Introduction to Mathematical Cryptography (англ.). — Springer[англ.], 2008. — P. 411. — ISBN 978-0-387-77993-5.
- ↑ Nguyen, Phong Q., Stehlé, Damien. Low-dimensional lattice basis reduction revisited (англ.) // ACM Transactions on Algorithms. — P. 1–48. — doi:10.1145/1597036.1597050.
- ↑ Bosma, Wieb. 4. LLL // Computer Algebra. — 2007. Архивировано 8 мая 2019 года.
- ↑ Shahriar Shahabuddin, Janne Janhunen, Zaheer Khan, Markku Juntti, Amanullah Ghazi. A customized lattice reduction multiprocessor for MIMO detection // 2015 IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS). — 2015. — arXiv:1501.04860. — doi:10.1109/ISCAS.2015.7169312.
- ↑ D. Simon. Selected applications of LLL in number theory // LLL+25 Conference. — Caen, France. Архивировано 6 мая 2021 года.
- ↑ Abderrahmane, Nitaj. Cryptanalysis of NTRU with two public keys // International Association for Cryptologic Research. — Caen, France. Архивировано 21 декабря 2019 года.
- ↑ Bleichenbacher, Daniel and May, Alexander. New Attacks on RSA with Small Secret CRT-Exponents // International Association for Cryptologic Research. — Darmstadt, Germany. Архивировано 24 июня 2021 года.
- ↑ Liu, Jiayang, Bi, Jingguo and Xu, Songyan. An Improved Attack on the Basic Merkle–Hellman Knapsack Cryptosystems // IEEE. — Beijing 100084, China. Архивировано 17 июня 2021 года.
- ↑ The LLL Algorithm, 2010, 4 Progress on LLL and Lattice Reduction.
- ↑ The FPLLL development team. FPLLL, a lattice reduction library. — 2016. Архивировано 17 февраля 2020 года.
- ↑ Integral matrices and lattices . GAP. Дата обращения: 10 декабря 2019. Архивировано 19 декабря 2019 года.
- ↑ LLLBases -- lattice reduction (Lenstra-Lenstra-Lovasz bases) . Macaulay2. Дата обращения: 10 декабря 2019. Архивировано 10 декабря 2019 года.
- ↑ LLL Reduction . Magma. Дата обращения: 10 декабря 2019. Архивировано 10 декабря 2019 года.
- ↑ IntegerRelations/LLL . Maple. Дата обращения: 10 декабря 2019. Архивировано 18 сентября 2020 года.
- ↑ LatticeReduce . Wolfram Language Documentation. Дата обращения: 10 декабря 2019. Архивировано 10 декабря 2019 года.
- ↑ MODULE:LLL . NTL. Дата обращения: 10 декабря 2019. Архивировано 17 августа 2018 года.
- ↑ Vectors, matrices, linear algebra and sets . PARI/GP. Дата обращения: 10 декабря 2019. Архивировано 18 декабря 2019 года.
- ↑ pymatgen.core.lattice module . pymatgen. Дата обращения: 27 декабря 2019. Архивировано 18 декабря 2019 года.
- ↑ Dense matrices over the integer ring . sage. Дата обращения: 18 декабря 2019. Архивировано 6 мая 2021 года.
Литература
- Huguette, Napias. A generalization of the LLL algorithm over euclidean rings or orders // J. The. Nombr. Bordeaux. — 1996. — doi:10.5802/jtnb.176.
- Cohen, Henri. A course in computational algebraic number theory (англ.). — Springer[англ.], 2000. — Vol. 138. — (GTM). — ISBN 3-540-55640-0.
- Borwein, Peter. Computational Excursions in Analysis and Number Theory (англ.). — 2002. — ISBN 0-387-95444-9.
- Hoffstein, Jeffrey; Pipher, Jill; Silverman, J.H. An Introduction to Mathematical Cryptography (англ.). — Springer[англ.], 2008. — ISBN 978-0-387-77993-5.
- Luk, Franklin T.; Qiao, Sanzheng. A pivoted LLL algorithm // Lin. Alg. Appl.. — 2011. — Т. 434, № 11. — С. 2296—2307. — doi:10.1016/j.laa.2010.04.003.
- The LLL Algorithm : Survey and Applications / Ed. by Phong Q. Nguyen and Brigitte Vallée. — Springer, 2010. — ISBN 978-3-642-02295-1. — doi:10.1007/978-3-642-02295-1.
- Murray R. Bremner. Lattice Basis Reduction : An Introduction to the LLL Algorithm and Its Applications. — CRC Press, 2011. — ISBN 9781439807026.