Алгоритм Шёнхаге — Штрассена

Метод умножения Шёнхаге — Штрассена (англ. Schönhage–Strassen algorithm) — алгоритм умножения больших целых чисел, основанный на быстром преобразовании Фурье, требует ${\displaystyle O(N\cdot \log N\cdot \log \log N}$) битовых операций, где ${\displaystyle N}$ — количество двоичных цифр в произведении^[1].

Изобретён Арнольдом Шёнхаге и Фолькером Штрассеном в 1971 году^[2].

Фактически является методом умножения многочленов от одной переменной, превращается в алгоритм умножения чисел, если эти числа представить как многочлены от основы системы счисления, а после получения результата сделать переносы через разряды. Например, для перемножения 157 и 171 (в десятичной системе счисления) выполняются следующие операции:

• представляется ${\displaystyle 157}$ как ${\displaystyle x^{2}+5x+7}$, а ${\displaystyle 171}$ — как ${\displaystyle x^{2}+7x+1}$, где ${\displaystyle x=10}$;
• перемножаются многочлены ${\displaystyle x^{2}+5x+7}$ и ${\displaystyle x^{2}+7x+1}$ с помощью быстрого преобразования Фурье, результат — ${\displaystyle x^{4}+12x^{3}+43x^{2}+54x+7}$;
• применяются переносы через разряды: ${\displaystyle 2x^{4}+6x^{3}+8x^{2}+4x+7}$, то есть ${\displaystyle 26847}$.

Также в алгоритме можно умножать по модулю чисел Ферма ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$, если применять двоичную систему счисления.

Метод считался асимптотически быстрейшим методом с 1971 до 2007 годы, пока не был изобретён алгоритм Фюрера с лучшей оценкой сложности^[3]. На практике метод Шёнхаге — Штрассена начинает превосходить более ранние классические методы, такие как умножение Карацубы и алгоритм Тоома — Кука (обобщение метода Карацубы), начиная с целых чисел порядка ${\displaystyle 10^{10000}}$—${\displaystyle 10^{40000}}$ (от 10 000 до 40 000 десятичных знаков)^[4][5][6].