Альтернатива Титса

Альтернатива Титса — теорема о строении конечно порожденных линейных групп. Названа в честь Жака Титса.

Формулировка

Пусть $G$ конечно порождённая линейная группа над некоторым полем. Тогда для $G$ выполняется в точности одно из следующих утверждений

Либо $G$ почти разрешима, то есть содержит разрешимую подгруппу конечного индекса.
Либо $G$ содержит подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими.

Следствия

Линейная группа не аменабельна, тогда и только тогда, когда она содержит неабелеву свободную группу.
- Иначе говоря, гипотеза фон Неймана справедлива и для линейных групп.
Альтернатива Титса является важным компонентом в доказательстве теоремы Громова о группах полиномиального роста.

Вариации и обобщения

Говорят, что группа $G$ удовлетворяет альтернативе Титса, если для каждая подгруппы $H<G$ почти разрешима или содержит неабелеву свободную подгруппу. Иногда в определении дополнительно предполагают, что $H$ конечно порождена.

Примеры групп, удовлетворяющих альтернативе Титса, включают линейные группы, а также:

Примеры групп, не удовлетворяющих альтернативе Титса:

О доказательстве

В доказательстве рассматривают замыкание ${\bar {G}}$ группы $G$ в топологии Зарисского. Если ${\bar {G}}$ разрешима, то и группа $G$ разрешима. В противном случае переходят к рассмотрению образа $G$ в компоненте Леви ${\bar {G}}$ . Если она некомпактна, то пинг-понг лемма^[англ.] завершает доказательство. Если она компактна, то либо все собственные значения элементов в образе $G$ корни единицы, а значит, образ $G$ конечен, или можно найти вложение, для которого применима пинг-понг лемма.

См. также

Альтернатива Жиса — Маргулиса

Примечания

↑ Ivanov, Nikolai. Algebraic properties of the Teichmüller modular group (англ.) // Dokl. Akad. Nauk SSSR : journal. — 1984. — Vol. 275. — P. 786—789.
↑ McCarthy, Jenny. A "Tits-alternative" for subgroups of surface mapping class groups (англ.) // Trans. Amer. Math. Soc. : journal. — 1985. — Vol. 291. — P. 583—612. — doi:10.1090/s0002-9947-1985-0800253-8.
↑ Bestvina, Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael. The Tits alternative for Out(F_n) I: Dynamics of exponentially-growing automorphisms (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 2000. — Vol. 151, no. 2. — P. 517—623. — doi:10.2307/121043. — arXiv:math/9712217. — JSTOR 121043.

Ссылки

Tits, J. Free subgroups in linear groups (неопр.) // Journal of Algebra^[англ.]. — 1972. — Т. 20, № 2. — С. 250—270. — doi:10.1016/0021-8693(72)90058-0.

Похожие исследовательские статьи

В этой статье приведены основные термины, используемые в теории групп. Курсив обозначает внутреннюю ссылку на данный глоссарий. В конце приводится таблица основных обозначений, применяемых в теории групп.

<span class="mw-page-title-main">Конечная группа</span> алгебраическая структура - группа, содержащая конечное число элементов

Конечная группа в общей алгебре — группа, содержащая конечное число элементов. Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1. Порядок группы $\text{[math]}$ принято обозначать $\text{[math]}$

Теорема Бёрнсайда — классическая теорема теории конечных групп.

Редуктивная группа — алгебраическая группа $\text{[math]}$ , для которой унипотентный радикал её компоненты единицы $\text{[math]}$ является тривиальным. Над незамкнутым полем редуктивность алгебраической группы определяется как редуктивность её над замыканием основного поля.

Спорадическая группа — одна из 26 исключительных групп в теореме о классификации простых конечных групп.

Остаточно конечная или финитно аппроксимируемая группа — группа $\text{[math]}$ такая, что для любого элемента $\text{[math]}$ найдётся гомоморфизм $\text{[math]}$ в конечную группу $\text{[math]}$ , удовлетворяющий условию $\text{[math]}$ .

Пятая проблема Гильберта — одна из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Пятая проблема Гильберта относится к теории топологических групп преобразований и групп Ли. Для важных частных случаев решения были получены в 1933 и 1934 годах, окончательно решена в 1952 году.

Аменабельная группа — локально компактная топологическая группа G, в которой возможно ввести операцию усреднения на ограниченных функциях на этой группе, инвариантную относительно умножения на любой элемент группы.

Гипотеза фон Неймана — опровергнутая гипотеза о структуре аменабельных групп; предполагала, что любая неаменабельная группа содержит подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими.

Фраза группа лиева типа обычно означает конечную группу, которая тесно связана с группой рациональных точек редуктивной линейной алгебраической группы со значениями в конечном поле. Термин «группа лиева типа» не имеет общепризнанного точного определения, но важный набор конечных простых групп лиева типа точное определение имеет и они составляют большинство групп в классификации простых конечных групп.

Группа Титса J₂, названная именем Жака Титса, — это конечная простая группа порядка 2¹¹ • 3³ • 5² • 13 = 17971200 ≈ 2⋅10⁷.

N-группа — это группа, все локальные подгруппы которой разрешимы. Неразрешимые случаи Томпсон классифицировал во время работы по поиску всех минимальных конечных простых групп.

Пара (B, N) — это структура на группе лиева типа, которая позволяет дать единообразные доказательства многих результатов вместо того, чтобы рассматривать большое количество доказательств по вариантам. Грубо говоря, пара показывает, что все такие группы похожи на полную линейную группу над полем. Пары ввёл математик Жак Титс, а потому они иногда называются системы Титса.

Группы Ри — это группы лиева типа над конечным полем, которые построил Ри из исключительных автоморфизмов диаграмм Дынкина, которые обращают направление кратных рёбер, что обобщает группы Судзуки, которые нашёл Судзуки, используя другой метод. Группы были последними открытыми в бесконечных семействах конечных простых групп.

Теорема Фейта — Томпсона или теорема о нечётном порядке утверждает, что любая конечная группа нечётного порядка разрешима. Теорему доказали Вальтер Фейт и Джон Григгс Томпсон.

Теорема О'Нэна – Скотта — это одна из наиболее влиятельных теорем теории группы перестановок. Столь полезной эту теорему делает классификация простых конечных групп. В исходном виде теорема была о максимальных подгруппах симметрической группы. Она появилась как дополнение к статье Леонарда Скотта, написанной для конференции в Санта-Круз по конечным группам в 1979 со сноской, что Майкл О'Нэн независимо доказал тот же результат.

Арифметическая группа — это группа, получаемая как целые точки алгебраической группы, например, $\text{[math]}$ Арифметические группы возникают естественным образом при изучении арифметических свойств квадратичных форм и других классических областей теории чисел. Они также являются источником для очень интересных примеров римановых многообразий, а потому представляют интерес для дифференциальной геометрии и топологии. Наконец, эти две области объединяются в теорию автоморфных форм, которая является фундаментальной в современной теории чисел.

Лемма Шрайера — теорема из теории групп, использующаяся в алгоритме Шрайера-Симса. Теорема была доказана Отто Шрайером в 1927 году.

Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых $\text{[math]}$ матриц, которые определены полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определённая отношением $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ является транспонированной матрицей M.

Альтернатива Жиса — Маргулиса — теорема о строении подгрупп группы гомеоморфизмов окружности, являющаяся аналогом альтернативы Титса.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.