Альтернатива Фредгольма

Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Приводятся различные формулировки альтернативы. В части источников под альтернативой Фредгольма понимается только первая теорема Фредгольма, утверждающая, что либо неоднородное уравнение имеет решение при любом свободном члене, либо сопряжённое (союзное) уравнение имеет нетривиальное решение^[1]. Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений является обобщением на бесконечномерный случай аналогичных теорем в конечномерном пространстве (для систем линейных алгебраических уравнений). Обобщена Ф. Риссом на линейные операторные уравнения со вполне непрерывными операторами в банаховых пространствах^[2].

Доказательство

Способ 1

Пусть ${\displaystyle r=\operatorname {rg} {\mathcal {A}},~m=\operatorname {dim} W}$. Возможны два случая: либо ${\displaystyle r=m}$, либо ${\displaystyle r<m}$. Условие ${\displaystyle r=m}$ равносильно условию ${\displaystyle \operatorname {im} {\mathcal {A}}=W}$, которое означает, что уравнение ${\displaystyle {\mathcal {A}}z=u}$ имеет решение при любом ${\displaystyle u\in W}$. При этом так как ${\displaystyle \operatorname {rg} {\mathcal {A}}=\operatorname {rg} {\mathcal {A}}^{*}}$, то ${\displaystyle \operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*}=0}$, и значит, уравнение ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}w=0}$ не имеет ненулевого решения. Условие ${\displaystyle r<m}$ равносильно условию ${\displaystyle \operatorname {dim} (\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*})>0}$, которое означает существование ненулевого вектора ${\displaystyle w\in \operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*}}$, то есть ненулевого решения ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}w=0}$. При этом ${\displaystyle \operatorname {im} {\mathcal {A}}\neq W}$ и уравнение ${\displaystyle {\mathcal {A}}z=u}$ имеет решение не для любого ${\displaystyle u\in W}$.

Способ 2

1. Пусть система (1), то есть ${\displaystyle A\cdot X=B}$, имеет решение при любом ${\displaystyle B}$. В этом случае ${\displaystyle \operatorname {rg} A=m}$, так как иначе при некотором ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {rg} A}$ оказался бы меньше ранга расширенной матрицы и система (1) была бы несовместной в силу теоремы Кронекера — Капелли. Так как ${\displaystyle \operatorname {rg} A^{T}=\operatorname {rg} A}$, то в этих условиях ${\displaystyle \operatorname {rg} A^{T}=m}$, то есть равен числу неизвестных в системе (2) и эта система имеет только тривиальное решение.
2. Пусть теперь система ${\displaystyle A\cdot X=B}$ при некотором ${\displaystyle B}$ несовместна. Следовательно ${\displaystyle \operatorname {rg} A<m}$ , значит и ${\displaystyle \operatorname {rg} A^{T}<m}$, то есть ранг матрицы системы (2) меньше числа неизвестных и эта система имеет ненулевое решение.

В доказательстве используются обозначения: ${\displaystyle \operatorname {rg} A}$ — ранг матрицы ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \operatorname {dim} W}$ — размерность пространства ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle \operatorname {im} {\mathcal {A}}}$ — образ оператора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle \operatorname {def} {\mathcal {A}}}$ — дефект оператора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle \operatorname {ker} {\mathcal {A}}}$ — ядро оператора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle A^{T}}$ — транспонированная матрица.

Альтернатива Фредгольма для линейного оператора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, действующего в одном пространстве ${\displaystyle V}$, означает, что либо основное уравнение имеет единственное решение при любом ${\displaystyle u\in V}$, либо сопряжённое к нему однородное уравнение имеет нетривиальное решение^[1].

Альтернатива Фредгольма формулируется для интегрального уравнения Фредгольма

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int \limits _{0}^{a}K(x,y)\varphi (y)\,dy+f(x)\qquad (1)}$

с непрерывным ядром ${\displaystyle K(x,y)}$ и союзного к нему уравнения

${\displaystyle \psi (x)={\bar {\lambda }}\int \limits _{0}^{a}K^{*}(x,y)\psi (y)\,dy+g(x),\qquad (1')}$

${\displaystyle K^{*}(x,y)={\overline {K(y,x)}}}$. Однородное уравнение − это уравнение с нулевым свободным членом f или g.

Формулировка 1. Если интегральное уравнение (1) с непрерывным ядром разрешимо в ${\displaystyle C[0,a]}$ при любом свободном члене ${\displaystyle f\in C[0,a]}$, то и союзное к нему уравнение (1') разрешимо в ${\displaystyle C[0,a]}$ при любом свободном члене ${\displaystyle g\in C[0,a]}$, причем эти решения единственны (первая теорема Фредгольма).

Если интегральное уравнение (1) разрешимо в C[0, a] не при любом свободном члене ${\displaystyle f}$, то:

1) однородные уравнения (1) и (1') имеют одинаковое (конечное) число линейно независимых решений (вторая теорема Фредгольма);

2) для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы свободный член ${\displaystyle f}$ был ортогонален ко всем решениям союзного однородного уравнения (1') (третья теорема Фредгольма)^[3].

Формулировка 2. Если однородное интегральное уравнение Фредгольма имеет только тривиальное решение, то соответствующее неоднородное уравнение всегда имеет одно и только одно решение. Если же однородное уравнение имеет некоторое нетривиальное решение, то неоднородное интегральное уравнение либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесконечное число решений в зависимости от заданной функции ${\displaystyle f(x)}$^[4][5].

Интегральное уравнение Фредгольма (1) с вырожденным ядром вида

${\displaystyle K(x,y)=\sum _{i=1}^{N}f_{i}(x)g_{i}(y)}$

можно переписать в виде

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \sum \limits _{i=1}^{N}c_{i}f_{i}(x)+f(x),}$

где

${\displaystyle c_{i}=\int \limits _{0}^{a}\varphi (y)g_{i}(y)\,dy}$

— неизвестные числа. Путём умножения полученного равенства на ${\displaystyle g_{k}(x)}$ и интегрирования по отрезку ${\displaystyle [0,a]}$ уравнение с вырожденным ядром сводится к эквивалентной ему системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ${\displaystyle (c_{1},c_{2},\dots ,c_{N})}$:

${\displaystyle c_{k}=\lambda \sum _{i=1}^{N}\alpha _{ki}c_{i}+a_{k},}$

где

${\displaystyle \alpha _{ki}=\int \limits _{0}^{a}g_{k}(x)f_{i}(x)\,dx,\quad a_{k}=\int \limits _{0}^{a}g_{k}(x)f(x)\,dx.}$.

Поэтому альтернатива Фредгольма непосредственно следует из конечномерного случая^[6].

В общем случае доказательство альтернативы Фредгольма для интегральных уравнений основано на представлении произвольного непрерывного ядра в виде

${\displaystyle K(x,y)=P(x,y)+Q(x,y),}$

где ${\displaystyle P(x,y)}$ — вырожденное ядро (многочлен) и ${\displaystyle Q(x,y)}$ — малое непрерывное ядро, ${\displaystyle |Q(x,y)|<\varepsilon ,\,0\leq x\leq a}$. Тогда уравнение (1) принимает вид

${\displaystyle \varphi =\lambda P\varphi +\lambda Q\varphi +f,}$

где ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — интегральные операторы с ядрами ${\displaystyle P(x,y)}$ и ${\displaystyle Q(x,y)}$ соответственно.

Введем неизвестную функцию ${\displaystyle \Phi (x)}$ по формуле

${\displaystyle \Phi =\varphi -\lambda Q\varphi }$.

При ${\displaystyle |\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}}$ функция ${\displaystyle \varphi }$ однозначно выражается через ${\displaystyle \Phi }$ по формуле

${\displaystyle \varphi =(I-\lambda Q)^{-1}\Phi =(I+\lambda R)\Phi ,}$

где ${\displaystyle I}$ — единичный оператор, ${\displaystyle R}$ — интегральный оператор с ядром ${\displaystyle R(x,y,\lambda )}$ — резольвентой ядра ${\displaystyle Q(x,y)}$. Тогда исходное уравнение принимает вид

${\displaystyle \Phi =\lambda T\Phi +f,}$

где

${\displaystyle T=P+\lambda PR}$

— интегральный оператор с вырожденным ядром

${\displaystyle T(x,y,\lambda )=P(x,y)+\lambda \int \limits _{0}^{a}P(x,\xi )R(\xi ,y,\lambda )d\xi ,}$

аналитическим по ${\displaystyle \lambda }$ в круге ${\displaystyle |\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}}$. Аналогично союзное интегральное уравнение (1') преобразуется к виду

${\displaystyle \psi ={\bar {\lambda }}T^{*}\psi +g_{1}.}$

Таким образом, уравнения (1) и (1') эквивалентны в круге ${\displaystyle |\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}}$ уравнениям с вырожденными ядрами, что позволяет вывести альтернативу Фредгольма для общего случая^[6].

• Множество характеристических чисел непрерывного ядра не имеет конечных предельных точек и, значит, не более чем счётно. Действительно, в каждом круге ${\displaystyle |\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}}$ характеристические числа ядра ${\displaystyle K(x,y)}$ совпадают с характеристическими числами вырожденного ядра, которые являются нулями аналитической функции.
• Каждое характеристическое число имеет конечную кратность (число линейно независимых собственных функций). Следует из второй теоремы Фредгольма. Характеристические числа можно пронумеровать в порядке возрастания их модуля:

${\displaystyle |\lambda _{1}|\leq |\lambda _{2}|\leq \dots ,}$

повторяя в этой последовательности ${\displaystyle \lambda _{k}}$ столько раз, какова его кратность.

• Если ${\displaystyle \lambda _{0}}$ — характеристическое число ядра ${\displaystyle K(x,y)}$, то ${\displaystyle {\bar {\lambda }}_{0}}$ — характеристическое число ядра ${\displaystyle K^{*}(x,y)}$, причем они имеют одинаковую кратность.
• Собственные функции ${\displaystyle \varphi _{k}}$ и ${\displaystyle \psi _{i}}$ ядер ${\displaystyle K(x,y)}$ и ${\displaystyle K^{*}(x,y)}$, отвечающие характеристическим числам ${\displaystyle \lambda _{k}}$ и ${\displaystyle {\bar {\lambda }}_{i}}$ соответственно, причем ${\displaystyle \lambda _{k}\neq \lambda _{i}}$, ортогональны: ${\displaystyle (\varphi _{k},\psi _{i})=0}$.

Используя данные свойства, можно переформулировать альтернативу Фредгольма в терминах характеристических чисел и собственных функций:

• Если ${\displaystyle \lambda \neq \lambda _{k},\,k=1,2,\dots }$, то интегральные уравнения (1) и (1') однозначно разрешимы при любых свободных членах.
• Если ${\displaystyle \lambda =\lambda _{k}}$, то однородные уравнения

${\displaystyle \varphi =\lambda _{k}K\varphi ,\quad \psi ={\bar {\lambda }}_{k}K^{*}\psi ,}$

имеют одинаковое (конечное) число ${\displaystyle r_{k}\geq 1}$ линейно независимых решений — собственных функций ${\displaystyle \varphi _{k},\varphi _{k+1},\dots ,\varphi _{k+r_{k}-1}}$ ядра ${\displaystyle K(x,y)}$ и собственных функций ${\displaystyle \psi _{k},\psi _{k+1},\dots ,\psi _{r_{k}-1}}$ ядра ${\displaystyle K^{*}(x,y)}$.

• Если ${\displaystyle \lambda =\lambda _{k}}$, то для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы

${\displaystyle (f,\psi _{k+i})=0,\quad i=0,1,r_{k}-1.}$^[6]

Даны уравнения

${\displaystyle Ax-x=y,\quad (2)}$

${\displaystyle A^{*}f-f=g,\quad (2')}$

где ${\displaystyle A}$ — вполне непрерывный оператор, действующий в банаховом пространстве ${\displaystyle E}$, а ${\displaystyle A^{*}}$ — сопряжённый оператор, действующий в сопряжённом пространстве ${\displaystyle E^{*}}$. Тогда либо уравнения (2) и (2') разрешимы при любых правых частях, и в этом случае однородные уравнения

${\displaystyle Ax-x=0}$

${\displaystyle A^{*}f-f=0}$

имеют лишь нулевые решения, либо однородные уравнения имеют одинаковое число линейно независимых решений

${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n};\quad f_{1},f_{2},\dots ,f_{n};}$

в этом случае, чтобы уравнение (2) (соответственно (2')) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы

${\displaystyle f_{i}(y)=0,\quad i=1,2,\dots ,n}$

(соответственно ${\displaystyle g(x_{i})=0,\,i=1,2,\dots ,n}$)^[7].

Метод Неймана решения задачи Дирихле

${\displaystyle \Delta u(x)=0,\quad x\in G,\quad u(s)=g(s),\quad s\in C}$

состоит в том, что решение ${\displaystyle u}$ ищется в виде

${\displaystyle u(x)=\int \limits _{C}\mu (t){\frac {\partial }{\partial n_{t}}}\log {\frac {1}{r_{xt}}}dt,}$

то есть в виде потенциала двойного слоя. Здесь ${\displaystyle G}$ — плоская область, ${\displaystyle C}$ — ограничивающая её замкнутая кривая, обладающая непрерывной кривизной, ${\displaystyle r_{xt}}$ — расстояние от точки ${\displaystyle x}$ до точки ${\displaystyle t}$ на контуре ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle n_{t}}$ — внутренняя нормаль к ${\displaystyle C}$ в точке ${\displaystyle t}$. Функция ${\displaystyle \mu }$ должна удовлетворять интегральному уравнению

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}g(s)=\mu (s)+\int \limits _{C}K(s,t)\mu (t)\,dt}$

с непрерывным ядром

${\displaystyle K(s,t)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\partial }{\partial n_{t}}}\log {\frac {1}{r_{xt}}}dt.}$

Согласно альтернативе Фредгольма, либо данное неоднородное уравнение имеет решение ${\displaystyle \mu (s)}$ при любом выборе непрерывной функции ${\displaystyle g(s)}$, либо однородное уравнение

${\displaystyle \nu (s)+\int \limits _{C}K(s,t)\mu (t)\,dt=0}$

допускает ненулевое решение ${\displaystyle \nu (s)}$. Последнее невозможно, это можно показать при помощи принципа максимума для гармонических функций. Следовательно, внутренняя задача Дирихле имеет решение при любых непрерывных граничных значениях ${\displaystyle g(s)}$. Аналогичные результаты получены для внешней задачи Дирихле, а также для задачи Неймана^[8].

• Интегральное уравнение
• Теория Фредгольма
• Компактный оператор
• Ядро интегрального уравнения

• Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. — 320 с. — ISBN 5-211-03814-2.

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — 2-е изд., стереотип.. — М.: Физматлит, 2004. — 400 с. — ISBN 5-9221-0310-5.
• Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960.
• Краснов М. Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). — М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1975.
• Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. — М.: Наука, 1965. — 128 с.
• Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.

• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, переработанное. — М.: Наука, 1965. — 520 с.