Аменабельная группа

Аменабельная группа — локально компактная топологическая группа G, в которой возможно ввести операцию усреднения на ограниченных функциях на этой группе, инвариантную относительно умножения на любой элемент группы.

Понятие было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году под немецким названием «messbar» («измеримый»). Мотивировкой послужил парадокс удвоения шара.

Изначальное определение было дано в терминах конечно-аддитивной инвариантной меры на подмножествах группы G.

В 1949 году Махлон Дэй ввёл в употребление термин аменабельный (от английского «послушный»), которое закрепилось^[1].

Рассмотрим локально компактную хаусдорфову группу G с её мерой Хаара ${\displaystyle \mu }$. Рассмотрим банахово пространство в L^∞(G) ограниченных измеримых функций.

Определение 1. Линейный функционал Λ в Hom(L^∞(G), R) называется усреднением, если Λ имеет норму 1 и неотрицателен, то есть f ≥ 0 почти везде влечёт Λ(f) ≥ 0.

Определение 2. Усреднение Λ в Hom(L^∞(G), R) называется левоинвариантным (соответственно, правоинвариантным), если Λ(g·f) = Λ(f) для всех g в G, и f в L^∞(G) по отношению к левому (соответственно, правому) сдвигу g·f(x) = f(g⁻¹·х)(соответственно, f·g(x) = f(х·g⁻¹)).

Определение 3. Локально компактная хаусдорфова группа называется аменабельной, если она допускает левoинвариантнoe (или правоинвариантное) усреднение.

• Наличие фиксированной точки. Любое действие группы аффинными преобразованиями на компактном выпуклом подмножестве сепарабельного локально выпуклого топологического векторного пространства имеет неподвижную точку.^[]
• Критерий Дэя. Существует последовательность интегрируемых неотрицательных функций φ_n с интегралом 1 на G такая, что g·φ_n − φ_n стремится к 0 в слабой топологии на L¹(G).
• Критерий Рейтера. Для любого конечного (или компактного) подмножества F в G существует интегрируемая неотрицательная функция φ с интегралом 1 такая, что g·φ − φ является сколь угодно малой в L¹(G) для любого g из F.
• Критерий Гликсберга — Райтера. Для любой f в L¹(G), расстояние между 0 и замкнутой выпуклой оболочкой в L¹(G) левых сдвигов f равно |∫f|.
• Критерий Фёлнера. Для каждого конечного (или компактного) подмножества F в G существует измеримое подмножество U в G с конечной положительной мерой Хаара такое, что значение ${\displaystyle \mu (F\cdot U)/\mu (U)}$ сколь угодно близко к 1.
• Критерий Кестена. Левая свертка на L²(G) с симметричной вероятностной мерой на G дает оператор оператор нормы 1.
• Гомологический критерий Джонсона. Банахова алгебра А = L¹(G) аменабельна как Банахова алгебра.

Определение аменабельности проще в случае дискретной группы^[2], то есть когда группа оснащена дискретной топологией.

Определение. Дискретная группа G аменабельна, если существует левоинвариантная конечно-аддитивная вероятностная мера μ на G.

Это определение эквивалентно определению в терминах L^∞(G), данному выше.

Мера μ на G позволяет определить интеграл ограниченных функций на G. Для ограниченной функции f: G → R, интеграл

${\displaystyle \int \limits _{G}fd\mu }$

определяется как в случае интеграла Лебега. (Обратите внимание, что некоторые свойства интеграла Лебега не выполняются, так как наша мера только конечно-аддитивна.)

Если группа допускает левоинвариантную меру, то она также допускает би-инвариантную меру. Действительно, по левоинвариантной мере μ строится правоинвариантная мера μ⁻(A) = μ(A⁻¹). Эти две меры определяют би-инвариантную меру следующим образом:

${\displaystyle \nu (A)=\int _{g\in G}\mu \left(Ag^{-1}\right)\,d\mu ^{-}.}$

Эквивалентные условия для аменабельных групп также становятся проще в случае счетной дискретной группы Γ . Для такой группы следующие условия эквивалентны:^[3]

• Γ аменабельна.
• Существует левоинвариантный непрерывный функционал μ на ℓ^∞(Γ) с μ(1) = 1.
• Существует множество вероятностных мер μ_n на Γ таких, что ||g · μ_n — μ_n||₁ стремится к 0 для каждого g в Γ.
• Существуют единичные векторы х_n в ℓ²(Γ) такие, что ||g · х_n − х_n||₂ стремится к 0 для каждого g в Γ.
• Существуют конечные подмножества S_n из Γ такие, что |g · S_n Δ S_n| / |S_n| стремится к 0 для каждого g в Γ.
• Если μ является симметричной вероятностной мерой на Γ с системой образующих как носителем, то свёртка по μ определяет оператор нормы на 1 в ℓ²(Γ).
• Если Γ действует изометриями на сепарабельном банаховом пространстве Е, и f в ℓ^∞(Γ, Е*) — ограниченный 1-коцикл, то есть f(g·h) = f(g) +g·f(h), тогда f — 1-кограница, то есть f(g) = g·φ − φ для некоторого φ в Е*.

• Замкнутая подгруппа аменабельной группы аменабельна.
• Факторгруппа аменабельной группы аменабельна.
• Расширение аменабельной группы аменабельно.
  • В частности, конечное прямое произведение аменабельных групп аменабельно. Тем не менее, бесконечное произведения не обязаны быть аменабельными.
• Прямые пределы аменабельных групп аменабельны.
  • В частности, если группа может быть записана в виде объединения возрастающей последовательности аменабельных подгрупп, то она аменабельна.
• Свойство аменабельности локально, то есть группа аменабельна тогда и только тогда, когда все её конечно-порождённые подгруппы аменабельны.

• Компактные группы аменабельны.
  • В частности, конечные группы аменабельны.
• Все разрешимые группы аменабельны. В частности,
  • все абелевы группы аменабельны.
  • группа целых чисел аменабельна.

Примеры выше называются элементарными аменабельными группами. Они строятся из конечных и абелевых групп с помощью стандартного набора операций. Существование неэлементарных аменабельных групп гарантируется следующим примером.

• Конечно порожденные группы субэкспоненциального роста аменабельны.

• Счётная дискретная группа, содержащая свободную подгруппу с двумя образующими, неаменабельна.
  • Обратное утверждение является гипотезой фон Неймана, она была опровергнута Ольшанским в 1980 году с помощью его монстров Тарского.
    • Адян впоследствии показал, что свободные бёрнсайдовы группы неаменабельны.
    • Эти группы конечно порождены, но не конечно представлены. В 2002 году Сапир и Ольшанский нашли примеры неаменабельных конечно представленных групп^[4].
  • Для конечно порожденных линейных групп гипотеза фон Неймана верна по теореме Титса^[5]: в каждой подгруппе GL(n, k) над полем k либо есть нормальная разрешимая подгруппа конечного индекса (и, следовательно, группа аменабельна), либо содержится свободная подгруппа с двумя образующими.

• Свойство (T) Каждана^[англ.] представляет собой, неформально говоря, полную противоположность аменабельности, за исключением случая компактных (в дискретном случае — конечных) групп^[6].
• Софические группы^[англ.] обобщают одновременно аменабельные и остаточно конечные группы; неформально говоря, софическая группа локально хорошо приближается конечной группой, ср. с критерием Фёлнера. На 2021 год неизвестно, включает ли этот класс все дискретные счётные группы^[7][8].

• Т.В. Нагнибеда. Аменабельность конечно порожденных групп (рус.) // Общеинститутский семинар «Коллоквиум МИАН». — 2 ноября 2017.
• Brooks, Robert (1981), "The fundamental group and the spectrum of the laplacian", Comment. Math. Helv., 56: 581—598, doi:10.1007/bf02566228
• Dixmier, Jacques (1977), C*-algebras (translated from the French by Francis Jellett), North-Holland Mathematical Library, vol. 15, North-Holland
• Greenleaf, F.P. (1969), Invariant Means on Topological Groups and Their Applications, Van Nostrand Reinhold
• Juschenko, Kate; Monod, Nicolas (2013), "Cantor systems, piecewise translations and simple amenable groups", Annals of Mathematics, 178 (2): 775—787, doi:10.4007/annals.2013.178.2.7
• Leptin, H. (1968), "Zur harmonischen Analyse klassenkompakter Gruppen", Invent. Math., 5: 249—254, doi:10.1007/bf01389775
• Pier, Jean-Paul (1984), Amenable locally compact groups, Pure and Applied Mathematics, Wiley, Zbl 0621.43001
• Runde, V. (2002), Lectures on Amenability, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1774, Springer, ISBN 9783540428527
• Sunada, Toshikazu (1989), "Unitary representations of fundamental groups and the spectrum of twisted Laplacians", Topology, 28: 125—132, doi:10.1016/0040-9383(89)90015-3
• Takesaki, M. (2002a), Theory of Operator Algebras, vol. 2, Springer, ISBN 9783540422488
• Takesaki, M. (2002b), Theory of Operator Algebras, vol. 3, Springer, ISBN 9783540429142
• Valette, Alain (1998), "On Godement's characterisation of amenability", Bull. Austral. Math. Soc., 57: 153—158, doi:10.1017/s0004972700031506
• von Neumann, J (1929), "Zur allgemeinen Theorie des Maßes" (PDF), Fund. Math., 13 (1): 73—111