Арбелос

Арбелос (греч. άρβυλος — сапожный нож) — плоская геометрическая фигура, образованная большим полукругом, из которого вырезаны два меньших, диаметры которых лежат на диаметре большого и разбивают его на две части. Точнее, пусть A, B и C — точки на одной прямой, тогда три полуокружности с диаметрами AB, BC и AC, расположенные по одну сторону от этой прямой, ограничивают арбелос^[1].

Даны арбелос ABC (точка A лежит между точками B и C) и окружности ${\displaystyle \omega _{1}}$, ${\displaystyle \omega _{2}}$,…,${\displaystyle \omega _{n}}$ (${\displaystyle n\in N}$), причем окружность ${\displaystyle \omega _{1}}$ касается дуг AB, BC и AC, а при ${\displaystyle n\geq 2}$ окружность ${\displaystyle \omega _{n}}$ касается дуг AB и BC и окружности ${\displaystyle \omega _{n-1}}$.

Тогда при любом натуральном ${\displaystyle n}$ расстояние от центра окружности ${\displaystyle \omega _{n}}$ до прямой BC равно произведению диаметра этой окружности на её номер ${\displaystyle n}$^[2][3]:

${\displaystyle h_{n}=nd_{n}}$.

Площадь арбелоса равна площади круга с диаметром HA.

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}\pi |HA|^{2}}$,

где H — точка на окружности с диаметром BC, такая, что AH перпендикулярно BC.

Отрезок BH пересекает полуокружность BA в точке D. Отрезок CH пересекает полуокружность AC в точке E. Тогда DHEA является прямоугольником.

Прямая DE касается полуокружности BA в точке D и полуокружности AC в точке E.

В «Леммах» также рассматриваются Архимедовы окружности-близнецы^[англ.] (см. рис.).

• Салинон
• Цепь Паппа Александрийского
• Архимед
• Линия Шоха^[англ.]

• Mortimer Brian. The Geometry of The Arbelos. — Carleton University, 1998.
• Леон Банков. 2.6. Как Папп доказал свою теорему? // Математический цветник / Сост. и ред. Д. А. Кларнер; пер. с англ. Ю. А. Данилова; под. ред., с предисл. и прилож. И. М. Яглома. — М.: Мир, 1983. — С. 143-152.
• Жижилкин И. Д. Инверсия.. — М.: МЦНМО, 2009. — С. 25-26.