Общая алгебра — раздел математики, изучающий алгебраические системы, такие как группы, кольца, поля, модули, решётки, а также отображения между такими структурами.
Изоморфи́зм — соотношение между математическими объектами, выражающее общность их строения; используется в разных разделах математики и в каждом из них определяется в зависимости от структурных свойств изучаемых объектов. Обычно изоморфизм определяется для множеств, наделённых некоторой структурой, например, для групп, колец, линейных пространств; в этом случае он определяется как обратимое отображение (биекция) между двумя множествами со структурой, сохраняющее эту структуру, то есть показывающее, что объекты «одинаково устроены» в смысле этой структуры. Если между объектами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких структур.
Кольцо́ в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел, совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.
Мо́дуль над кольцо́м — обобщение понятия векторного пространства с полей на кольца. Одно из основных понятий общей алгебры.
Коммутативная алгебра — раздел общей алгебры, изучающий свойства коммутативных колец и связанных с ними объектов, в частности теорию полей. Коммутативная алгебра является основой алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел. Наиболее яркие примеры коммутативных колец, изучаемых коммутативной алгеброй — кольца многочленов и кольца целых алгебраических чисел.
Части́чно упоря́доченное мно́жество — математическое понятие, которое формализует интуитивные идеи упорядочения, расположения элементов в определённой последовательности. Неформально, множество частично упорядочено, если указано, какие элементы следуют за какими. В общем случае может оказаться так, что некоторые пары элементов не связаны отношением «следует за».
Категория модулей ― категория, объекты которой ― правые унитарные модули над произвольным ассоциативным кольцом K с единицей, а морфизмы ― гомоморфизмы K-модулей.
Ама́лия Э́мми Нётер — немецкий математик, наиболее известна своим вкладом в абстрактную алгебру и теоретическую физику. Павел Александров, Альберт Эйнштейн, Жан Дьёдонне, Герман Вейль и Норберт Винер считали её величайшей женщиной в истории математики. В качестве одного из величайших математиков двадцатого века она коренным образом изменила теорию колец, полей и алгебр. В физике теорема Нётер впервые открыла связь между симметрией в природе и законами сохранения.
Э́миль А́ртин — математик. Уроженец Австро-Венгрии, университетское образование получил в Германии, научной деятельностью занимался в университетских центрах Германии и США.
Нётеров мо́дуль — это модуль, в котором выполняется условие обрыва возрастающих цепей для его подмодулей, упорядоченных по отношению включения.
Артинов модуль — модуль над кольцом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей. Символически, модуль 
артинов, если всякая последовательность его подмодулей:
Нётерово кольцо́ — тип колец, обобщение кольца главных идеалов. Названы в честь Эмми Нётер.
Забывающий функтор — теоретико-категорный функтор, который «забывает» некоторые или все алгебраические структуры и свойства исходной области, то есть переводит области, наделённые дополнительными структурами и свойствами, в кообласти с меньшими ограничениями.
В теории колец, простой модуль над кольцом R — это модуль над R, не имеющий ненулевых собственных подмодулей. Эквивалентно, модуль является простым тогда и только тогда, когда любой циклический модуль, порожденный одним его элементом, совпадает со всем модулем. Простые модули служат для построения модулей конечной длины, в этом смысле они похожи на простые группы.
Полупростые модули — общеалгебраические модули, которые можно легко восстановить по их частям. Кольцо, являющееся полупростым модулем над самим собой, называется артиновым полупростым кольцом. Важный пример полупростого кольца — групповое кольцо конечной группы над полем характеристики ноль. Структура полупростых колец описывается теоремой Веддербёрна — Артина: все такие кольца являются прямыми произведениями колец матриц.
Нётеровость — свойство математического объекта, сходное со свойством обрыва возрастающих цепей для частично упорядоченных множеств. Объект называется нётеровым, если он удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для его подобъектов определённого типа, упорядоченных по отношению включения.
- Нётерова группа — группа, удовлетворяющая условию обрыва возрастающих цепей для её подгрупп.
- Нётерово кольцо — кольцо, которое удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для его идеалов.
- Нётеров модуль — модуль, удовлетворяющий условию обрыва возрастающих цепей для его подмодулей.
- Нётерово топологическое пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей для его замкнутых подмножеств. Причина изменения терминологии следующая: данное условие наиболее часто рассматривают для топологических пространств, являющихся спектром некоторого кольца. В этом случаю каждому замкнутому множеству соответствует некоторый идеал, при этом соответствии порядок по включению обращается.
- Нётерова индукция — обобщение трансфинитной индукции на произвольные частично упорядоченные множества, удовлетворяющие условию обрыва убывающих цепей.
- Нётерова схема
- Нётеров объект — объект категории, класс подобъектов которого удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей — наиболее общее определение для подобного рода структур в рамках общей алгебры.
Некоммутативная геометрия (НКГ) — раздел математики, посвященный геометрическому подходу к некоммутативным алгебрам и построению «пространств», которые локально представлены некоммутативными алгебрами функций.
