Артинов модуль

Перейти к навигации Перейти к поиску

Артинов модуль — модуль над кольцом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей. Символически, модуль $M$ артинов, если всякая последовательность его подмодулей:

M_{1}\supset M_{2}\supset \ldots \supset M_{i}\supset \ldots

стабилизируется, то есть начиная с некоторого $n$ выполнено:

M_{n}=M_{n+1}=\ldots

Это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве подмодулей $M$ существует минимальный элемент.

Если $M$ — артинов, то любой его подмодуль и любой его фактормодуль артиновы. Обратно, если подмодуль $N\subset M$ и фактормодуль $M/N$ артиновы, то и сам модуль $M$ артинов.

Названы в честь Эмиля Артина, наряду с подобными общеалгебраическими структурами с условиями обрыва убывающих цепей (артинова группа, артиново кольцо), и двойственными «нётеровым» структурам с условием обрыва возрастающих цепей (нётеров модуль, нётерова группа, нётерово кольцо). В частности, ассоциативное кольцо $A$ с единичным элементом называется артиновым, если оно является артиновым $A$ -модулем (удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей для идеалов, для некоммутативного случая соответственно левых или правых).

Литература

Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963.
Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.

Похожие исследовательские статьи

А́белева гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа $\text{[math]}$ абелева, если $\text{[math]}$ для любых двух элементов $\text{[math]}$ .

Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.

Мо́дуль над кольцо́м — обобщение понятия векторного пространства с полей на кольца. Одно из основных понятий общей алгебры.

Нильпотентный идеал — идеал $\text{[math]}$ кольца $\text{[math]}$ , для которого существует натуральное число $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ — аддитивная подгруппа, порождённая множеством всех произведений из $\text{[math]}$ элементов идеала $\text{[math]}$ , то есть идеал нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число $\text{[math]}$ , такое, что произведение любых $\text{[math]}$ элементов идеала $\text{[math]}$ равно 0. Наибольший интерес понятие нильпотентного идеала представляет для случая некоммутативных колец.

Конечнопорождённым мо́дулем $\text{[math]}$ над ассоциативным кольцом $\text{[math]}$ называется такой модуль, который порождается конечным числом своих элементов. Например, для правого модуля это означает, что существует конечное множество элементов $\text{[math]}$ таких, что любой элемент из $\text{[math]}$ представим в виде суммы $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — какие-то элементы кольца $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Нётер, Эмми</span> математик

Ама́лия Э́мми Нётер — немецкий математик, наиболее известна своим вкладом в абстрактную алгебру и теоретическую физику. Павел Александров, Альберт Эйнштейн, Жан Дьёдонне, Герман Вейль и Норберт Винер считали её величайшей женщиной в истории математики. В качестве одного из величайших математиков двадцатого века она коренным образом изменила теорию колец, полей и алгебр. В физике теорема Нётер впервые открыла связь между симметрией в природе и законами сохранения.

Нётеров мо́дуль — это модуль, в котором выполняется условие обрыва возрастающих цепей для его подмодулей, упорядоченных по отношению включения.

А́ртиново кольцо́ — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей: всякая последовательность идеалов $\text{[math]}$ стабилизируется, то есть начиная с некоторого $\text{[math]}$

\text{[math]}

Нётерово кольцо́ — тип колец, обобщение кольца главных идеалов. Названы в честь Эмми Нётер.

Область главных идеалов — это область целостности, в которой любой идеал является главным. Более общее понятие — кольцо главных идеалов, от которого не требуется целостности.

Размерность Крулля — числовая характеристика коммутативных колец, наибольшая длина цепочки вложенных друг в друга простых идеалов данного кольца. Не обязательно является конечной даже для нётеровых колец.

В теории колец, простой модуль над кольцом R — это модуль над R, не имеющий ненулевых собственных подмодулей. Эквивалентно, модуль является простым тогда и только тогда, когда любой циклический модуль, порожденный одним его элементом, совпадает со всем модулем. Простые модули служат для построения модулей конечной длины, в этом смысле они похожи на простые группы.

Полупростые модули — общеалгебраические модули, которые можно легко восстановить по их частям. Кольцо, являющееся полупростым модулем над самим собой, называется артиновым полупростым кольцом. Важный пример полупростого кольца — групповое кольцо конечной группы над полем характеристики ноль. Структура полупростых колец описывается теоремой Веддербёрна — Артина: все такие кольца являются прямыми произведениями колец матриц.

Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.

В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.

Теорема Ласкера — Нётер утверждает, что каждый идеал нётерова кольца можно записать в виде конечного пересечения примарных идеалов. Такое представление идеала называется примарным разложением. В случае области главных идеалов это эквивалентно представлению в виде конечного пересечения степеней простых идеалов, то есть обобщает основную теорему арифметики. В 1905 теорема была доказана Эмануилом Ласкером в частном случае колец многочленов или сходящихся степенных рядов; общий случай теоремы доказала Эмми Нётер в 1921 году.

Плоский модуль над кольцом R — это такой модуль, что тензорное умножение на этот модуль сохраняет точные последовательности. Модуль называется строго плоским, если последовательность тензорных произведений точна тогда и только тогда, когда точна исходная последовательность.

Нётеровость — свойство математического объекта, сходное со свойством обрыва возрастающих цепей для частично упорядоченных множеств. Объект называется нётеровым, если он удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для его подобъектов определённого типа, упорядоченных по отношению включения.

Нётерова группа — группа, удовлетворяющая условию обрыва возрастающих цепей для её подгрупп.
Нётерово кольцо — кольцо, которое удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для его идеалов.
Нётеров модуль — модуль, удовлетворяющий условию обрыва возрастающих цепей для его подмодулей.
Нётерово топологическое пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей для его замкнутых подмножеств. Причина изменения терминологии следующая: данное условие наиболее часто рассматривают для топологических пространств, являющихся спектром некоторого кольца. В этом случаю каждому замкнутому множеству соответствует некоторый идеал, при этом соответствии порядок по включению обращается.
Нётерова индукция — обобщение трансфинитной индукции на произвольные частично упорядоченные множества, удовлетворяющие условию обрыва убывающих цепей.
Нётерова схема
Нётеров объект — объект категории, класс подобъектов которого удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей — наиболее общее определение для подобного рода структур в рамках общей алгебры.

Нётерово простра́нство — топологическое пространство X, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств. То есть для каждой последовательности замкнутых подмножеств $\text{[math]}$ пространства X такой, что:

\text{[math]}

Артиновость — свойство общеалгебраических структур, для которых выполнено условие обрыва убывающих цепей для подструктур определённого типа, упорядоченных по отношению включения. Некоторые такие структуры:

Артинова группа — группа, удовлетворяющая условию обрыва убывающих цепей для её подгрупп.
Артиново кольцо — кольцо, которое удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей для его идеалов.
Артинов модуль — модуль, удовлетворяющий условию обрыва убывающих цепей для его подмодулей.
Артинова схема.
Артинов объект — объект категории, класс подобъектов которого удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей — наиболее общее определение для подобного рода структур в рамках общей алгебры.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.