Архимедово тело

Ромбоусечённый икосододекаэдр является самым большим архимедовым телом по объёму (для единичной длины ребра), а также имеющим больше всех других вершин и рёбер.

Псевдоромбокубооктаэдр имеет одну вершинную фигуру, 3.4.4.4, но с поворотом одного квадратного купола. В отличие от (не повёрнутого) ромбокубооктаэдра, фигура не является вершинно транзитивной.

Архиме́дово те́ло (или архиме́дов многогра́нник) — выпуклый многогранник, имеющий в качестве граней два или более типов правильных многоугольников, примыкающих к идентичным вершинам. Здесь «идентичные вершины» означают, что для любых двух вершин существует изометрия всего тела, переводящая одну вершину в другую.

Архимедовы тела отличаются от платоновых тел (правильных многогранников), которые состоят только из одного типа многоугольников в одинаковых вершинах, и от многогранников Джонсона, правильные многоугольные грани которого принадлежат различным типам вершин.

Иногда только требуется, чтобы грани, прилегающие к одной вершине, были изометричными граням при другой вершине. Эта разница в определениях определяет, считается ли удлинённый квадратный гиробикупол (псевдоромбокубооктаэдр) архимедовым телом или многогранником Джонсона — это единственный выпуклый многогранник, в котором многоугольные грани примыкают к вершине одним и тем же способом в каждой вершине, но многогранник не имеет глобальную симметрию, которая бы переводила любую вершину в любую другую. Основываясь на существовании псевдоромбокубооктаэдра, Грюнбаум^[1] предложил терминологическое различие, в котором архимедово тело определяется как имеющее одну и ту же вершинную фигуру в каждой вершине (включая удлинённый квадратный гиробикупол), в то время как однородный многогранник определяется как тело, у которого любая вершина симметрична любой другой (что исключает гиробикупол).

Призмы и антипризмы, группами симметрий которых являются диэдрические группы, обычно не считаются архимедовыми телами, несмотря на то, что они подпадают под определение, данное выше. С этим ограничением существует только конечное число архимедовых тел. Все тела, кроме удлинённого квадратного гирокупола, можно получить построениями Витхоффа из платоновых тел с помощью тетраэдральной, октаэдральной^[англ.] и икосаэдральной симметрий.

Источник названия

Архимедовы тела названы по имени Архимеда, обсуждавшего их в ныне потерянной работе. Папп ссылается на эту работу и утверждает, что Архимед перечислил 13 многогранников^[1]. Во времена Возрождения художники и математики ценили чистые формы и переоткрыли их все. Эти исследования были почти полностью закончены около 1620 года Иоганном Кеплером^[2], который определил понятия призм, антипризм и невыпуклых тел, известных как тела Кеплера — Пуансо.

Кеплер, возможно, нашёл также удлинённый квадратный гиробикупол (псевдоромбокубооктаэдр) — по меньшей мере, он утверждал, что имеется 14 архимедовых тел. Однако его опубликованные перечисления включают только 13 однородных многогранников, и первое ясное утверждение о существовании псевдоромбоикосаэдра было сделано в 1905 Дунканом Соммервилем^[англ.]^[1].

Классификация

Существует 13 архимедовых тел (не считая удлинённого квадратного гиробикупола; 15, если учитывать зеркальные отражения двух энантиоморфов, которые ниже перечислены отдельно).

Здесь вершинная конфигурация относится к типам правильных многоугольников, которые примыкают к вершине. Например, вершинная конфигурация (4,6,8) означает, что квадрат, шестиугольник и восьмиугольник встречаются в вершине (порядок перечисления берётся по часовой стрелке относительно вершины).

Название (Альтернативное название)	Шлефли Коксетер	Прозрачный	Вершинная фигура	Граней		Рёбер	Вершин	Объём (при единич- ном ребре)	Группа точек
Усечённый тетраэдр	{3,3}	(Вращение)	3.6.6	8	4 треугольника 4 шестиугольника	18	12	2.710576	T_d
Кубооктаэдр (ромботетраэдр)	r{4,3} или rr{3,3} или	(Вращение)	3.4.3.4	14	8 Треугольников 6 квадратов	24	12	2.357023	O_h
Усечённый куб	t{4,3}	(Вращение)	3.8.8	14	8 треугольников 6 восьмиугольников	36	24	13.599663	O_h
Усечённый октаэдр (усечённый тетратераэдр)	t{3,4} или tr{3,3} или	(Вращение)	4.6.6	14	6 квадратов 8 шестиугольников	36	24	11.313709	O_h
Ромбокубооктаэдр (малый ромбокубооктаэдр)	rr{4,3}	(Вращение)	3.4.4.4	26	8 треугольников 18 квадратов	48	24	8.714045	O_h
Усечённый кубооктаэдр (большой ромбокубооктаэдр)	tr{4,3}	(Вращение)	4.6.8	26	12 квадратов 8 шестиугольников 6 восьмиугольников	72	48	41.798990	O_h
Курносый куб, или плосконосый куб (плосконосый кубоктаэдр)	sr{4,3}	(Вращение)	3.3.3.3.4	38	32 треугольника 6 квадратов	60	24	7.889295	O
Икосододекаэдр	r{5,3}	(Вращение)	3.5.3.5	32	20 треугольников 12 пятиугольников	60	30	13.835526	I_h
Усечённый додекаэдр	t{5,3}	(Вращение)	3.10.10	32	20 треугольников 12 десятиугольников	90	60	85.039665	I_h
Усечённый икосаэдр	t{3,5}	(Вращение)	5.6.6	32	12 пятиугольников 20 шестиугольников	90	60	55.287731	I_h
Ромбоикосододекаэдр (малый ромбоикосододекаэдр)	rr{5,3}	(Вращение)	3.4.5.4	62	20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников	120	60	41.615324	I_h
Ромбоусечённый икосододекаэдр	tr{5,3}	(Вращение)	4.6.10	62	30 квадратов 20 шестиугольников 12 десятиугольников	180	120	206.803399	I_h
Плосконосый додекаэдр (плосконосый икосододекаэдр)	sr{5,3}	(Вращение)	3.3.3.3.5	92	80 треугольников 12 пятиугольников	150	60	37.616650	I

Некоторые определения полуправильных многогранников включают ещё одно тело — удлинённый квадратный гиробикупол или «псевдоромбокубооктаэдр»^[3].

Свойства

Число вершин равно отношению 720° к угловому дефекту при вершине.

Кубоктаэдр и икосододекаэдр являются рёберно однородными^[англ.] и называются квазиправильными.

Двойственные многогранники архимедовых тел называются каталановыми телами. Вместе с бипирамидами и трапецоэдрами они являются однородными по граням телами с правильными вершинами.

Хиральность

Плосконосый куб и плосконосый додекаэдр хиральны, поскольку они появляются в левостороннем и правостороннем вариантах. Если что-то имеет несколько видов, которые являются трёхмерным зеркальным отражением друг друга, эти формы называют энантиоморфами (это название применяется также для некоторых форм химических соединений).

Построение архимедовых тел

Различные архимедовы и платоновы тела могут быть получены друг из друга с помощью пригоршни операций. Начиная с платоновых тел можно использовать операцию усечения углов. Для сохранения симметрии усечение делается плоскостью, перпендикулярной прямой, соединяющей угол с центром многоугольника. В зависимости от того, насколько глубоко проводится усечение (см. таблицу ниже), получим различные платоновы и архимедовы (и другие) тела. Растяжение или скашивание осуществляется путём движения граней (в направлении) от центра (на одно и то же расстояние, чтобы сохранить симметрию) и созданием, затем, выпуклой оболочки. Расширение с поворотом осуществляется также вращением граней, это ломает прямоугольники, возникающие на местах рёбер, на треугольники. Последнее построение, которое мы здесь приводим, это усечение как углов, так и рёбер. Если игнорировать масштабирование, расширение можно также рассматривать как усечение углов и рёбер, но с определённым отношением между усечениями углов и рёбер.

Построение архимедовых тел
Симметрия		Тетраэдральная	Октаэдральная^[англ.]		Икосаэдральная
Начальное тело Операция	Символ {p, q}	Тетраэдр {3,3}	Куб {4,3}	Октаэдр {3,4}	Додекаэдр {5,3}	Икосаэдр {3,5}
Усечение (t)	t{p, q}	Усечённый тетраэдр	Усечённый куб	Усечённый октаэдр	Усечённый додекаэдр	Усечённый икосаэдр
Полное усечение (r) Амвон (a)	r{p, q}	Тетратетраэдр	Кубооктаэдр		Икосододекаэдр
Глубокое усечение^[англ.] (2t) (dk)	2t{p, q}	Усечённый тетраэдр	усечённый октаэдр	усечённый куб	усечённый икосаэдр	усечённый додекаэдр
Двойное полное усечение (2r) Двойственный (d)	2r{p, q}	тетраэдр	октаэдр	куб	икосаэдр	додекаэдр
Скашивание (rr) Растяжение (e)	rr{p, q}	Кубооктаэдр	Ромбокубооктаэдр		ромбоикосододекаэдр
Плосконосое спрямление (sr) Спрямление (s)	sr{p, q}	плосконосый тетратетраэдр	плосконосый куб		плосконосый икосододекаэдр
скос-усечение^[англ.] (tr) Скашивание (b)	tr{p, q}	Усечённый октаэдр	Усечённый кубооктаэдр		Ромбоусечённый икосододекаэдр

Заметим двойственность между кубом и октаэдром и между додекаэдром и икосаэдром. Также, частично вследствие самодвойственности тетраэдра, только одно архимедово тело имеет только одну тетраэдральную симметрию.

См. также

Примечания

↑ ¹ ² ³ Grünbaum, 2009.
↑ Field, 1997, p. 241—289.
↑ Malkevitch, 1988, p. 85.

Литература

Field J. Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler // Archive for History of Exact Sciences. — Springer, 1997. — Vol. 50, no. 3-4. — ISSN 0003-9519.
Grünbaum, Branko. An enduring error // Elemente der Mathematik. — 2009. — Vol. 64, no. 3. — P. 89–101. — doi:10.4171/EM/120.. Перепечатано в The Best Writing on Mathematics 2010 / Mircea Pitici. — Princeton University Press, 2011. — P. 18–31.
Malkevitch, Joseph. . Shaping Space: A Polyhedral Approach / M. Senechal, G. Fleck. — Boston: Birkhäuser, 1988. — P. 80–92.
Pugh, Anthony. . Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2
Udaya, Jayatilake. Calculations on face and vertex regular polyhedral // Mathematical Gazette. — 2005. — Vol. 89, no. 514. — P. 76–81.
Williams, Robert. . The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)