Асимптотически параллельные прямые

В нейтральной или абсолютной геометрии и в геометрии Лобачевского могут иметься много прямых, параллельных данной прямой ${\displaystyle R}$ и проходящих через точку ${\displaystyle P}$ вне этой прямой. Однако две параллельные могут быть ближе к ${\displaystyle R}$, чем остальные (по одной с каждой стороны).

Имеет смысл в этом случаен дать другое определение параллельности для нейтральной геометрии. Если имеются очень близкие параллельные к данной прямой, их называют асимптотически параллельными или параллельными в пределе.

Для лучей отношение асимптотической параллельности является отношением эквивалентности, которое включает терминальное отношение эквивалентности.

Асимптотические параллельные могут образовывать две или три стороны асимптотического треугольника.

Луч ${\displaystyle Aa}$ является асимптотически параллельным лучу ${\displaystyle Bb}$, если они котерминальны или если они лежат на различных прямых, не равных прямой ${\displaystyle AB}$, не пересекаются и любой луч внутри угла ${\displaystyle BAa}$ пересекает луч ${\displaystyle Bb}$^[1].

Различные прямые, содержащие асимптотические параллельные лучи, не пересекаются.

Предположим, что прямые, содержащие различные параллельные лучи, пересекаются. По определению они не могут пересечься на стороне ${\displaystyle AB}$, в которой находится луч ${\displaystyle a}$. Тогда они должны пересекаться на стороне ${\displaystyle AB}$, противоположной лучу ${\displaystyle a}$, обозначим эту точку ${\displaystyle C}$. Тогда (здесь P = прямой угол) ${\displaystyle \angle CAB+\angle CBA<2P\Rightarrow \angle aAB+\angle bBA>2P}$. Противоречие.

• Орицикл, в геометрии Лобачевского кривая, нормали которой асимптотически параллельны
• Угол параллельности