Асферическое пространство

Асферическое пространство — топологическое пространство в котором все гомотопические группы ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ кроме ${\displaystyle n=1}$ тривиальны. Для симплектических многообразий значение термина немного отличается; смотри симплектически асферическое многообразие.

• По теореме Уайтхеда^[англ.], CW-комплекс асферичен тогда и только тогда, когда его универсальное накрытие стягиваемо.
• Если конечномерный CW-комплекс асферичен, то его фундаментальная группа не имеет кручения.
• Каждое асферическое пространство ${\displaystyle X}$ по определению является K(G,1) пространством, где ${\displaystyle G=\pi _{1}(X)}$ является фундаментальной группой ${\displaystyle X}$. Кроме того, оно является классифицирующим пространством^[англ.] для группы ${\displaystyle G}$, рассматриваемой как топологическая группа с дискретной топологией.
• Пусть ${\displaystyle X}$ асферическое пространство и ${\displaystyle K}$ — связный CW-комплекс.
  • Любое непрерывное отображение из 2-мерного остова ${\displaystyle K}$ в ${\displaystyle X}$ может быть продолжено до непрерывного отображения, определённого на всём ${\displaystyle K}$.
  • Для любого гомоморфизма фундаментальных групп ${\displaystyle h\colon \pi _{1}K\to \pi _{1}X}$ существует непрерывное отображение ${\displaystyle \varphi \colon K\to X}$, которое индуцирует ${\displaystyle h}$. Более того, ${\displaystyle \varphi }$ единственно с точностью до гомотопии.
• Прямое произведение асферических пространств асферическое.

• Все компактные поверхности кроме сферы и проективной плоскости являются асферическими.
• Тор любой размерности асферичен.
• Любое гиперболическое многообразие^[англ.] асферично.
• Болле того, метрические пространства с неположительной кривизной в смысле Александрова (то есть, локально CAT(0) пространства) асферичны. В случае римановых многообразий это следует из теоремы Картана — Адамара.
• Дополнение узла в ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ является асферическим по теореме о сфере
• Любое нильмногообразие асферично.
• Бесконечномерное линзовое пространство ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\infty }/\mathbb {Z} _{p}}$ асферично.

• Существенное многообразие

• Aspherical manifolds on the Manifold Atlas.