Аттрактор Рёсслера

Аттрактор Рёсслера — хаотический аттрактор, которым обладает система дифференциальных уравнений Рёсслера^[1]:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-y-z\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz}{dt}}=b+z(x-c)\end{matrix}}\right.}$ ;

где ${\displaystyle a,b,c}$ — положительные постоянные. При значениях параметров ${\displaystyle a=b=0.2}$ и ${\displaystyle 2.6\leq c\leq 4.2}$ уравнения Рёсслера обладают устойчивым предельным циклом. При этих значениях параметров в системе происходит каскад удвоения периода. При ${\displaystyle c>4.2}$ возникает хаотический аттрактор. Чётко определённые линии предельных циклов расплываются и заполняют фазовое пространство бесконечным множеством траекторий, обладающим свойствами фрактала.

Сам Рёсслер изучал систему при постоянных ${\displaystyle a=0.2}$, ${\displaystyle b=0.2}$ и ${\displaystyle c=5.7}$, но также часто используются и значения ${\displaystyle a=0.1}$, ${\displaystyle b=0.1}$, и ${\displaystyle c=14}$^[2].

Два из уравнений системы Рёсслера линейны. При ${\displaystyle z=0}$ они принимают вид

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{matrix}}\right.}$

Поэтому устойчивость движения в плоскости ${\displaystyle z=0}$ определяется собственными значениями матрицы Якоби ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}}$, которые равны ${\displaystyle {\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}}$.

Когда ${\displaystyle 0<a<2}$, собственные значения имеют положительную вещественную часть и комплексно сопряжены. Поэтому фазовые траектории расходятся от начала координат по спирали. Теперь проанализируем изменение координаты ${\displaystyle z}$, считая ${\displaystyle 0<a<2}$. Пока ${\displaystyle x}$ меньше ${\displaystyle c}$, множитель ${\displaystyle x-c}$ в уравнении на ${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}}$ будет удерживать траекторию близкой к плоскости ${\displaystyle x,y}$. Как только ${\displaystyle x}$ станет больше ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle z}$-координата начнёт расти. В свою очередь, большой параметр ${\displaystyle -z}$ начнёт тормозить рост ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$.

Уравнения на неподвижные точки можно найти, положив производные в системе уравнений Рёсслера равными нулю. В результате оказывается, что существует две неподвижные точки:

${\displaystyle \left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)}$

Как видно на изображении проекции аттрактора Рёсслера выше, одна из этих точек расположена в центре спирали аттрактора, а другая находится далеко от неё.

Поведение аттрактора Рёсслера в сильно зависит от значений постоянных параметров. Изменение каждого параметра даёт определённый эффект, в результате чего в системе может возникнуть устойчивая неподвижная точка, предельный цикл или решения системы станут "убегать" на бесконечность.

Бифуркационные диаграммы являются стандартным инструментом для анализа поведения динамических систем, в том числе и аттрактора Рёсслера. Они создаются путём решения уравнений системы, где фиксируются две переменные и изменяется одна. При построении такой диаграммы получаются почти полностью «закрашенные» регионы; это и есть область динамического хаоса.

Зафиксируем ${\displaystyle b=0.2}$, ${\displaystyle c=5.7}$ и будем изменять ${\displaystyle a}$.

В итоге опытным путём получим такую таблицу:

• ${\displaystyle a\leq 0}$: Сходится к устойчивой точке.
• ${\displaystyle a=0.1}$: Крутится с периодом 2.
• ${\displaystyle a=0.2}$: Хаос (стандартный параметр уравнений Рёсслера) .
• ${\displaystyle a=0.3}$: Хаотичный аттрактор.
• ${\displaystyle a=0.35}$: Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется сильнее.
• ${\displaystyle a=0.38}$: Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется ещё сильнее.

Зафиксируем ${\displaystyle a=0.2}$, ${\displaystyle c=5.7}$ и будем менять теперь параметр ${\displaystyle b}$. Как видно из рисунка, при ${\displaystyle b}$ стремящемся к нулю аттрактор неустойчив. Когда ${\displaystyle b}$ станет больше ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle c}$, система уравновесится и перейдёт в стационарное состояние.

Зафиксируем ${\displaystyle a=b=0.1}$ и будем изменять ${\displaystyle c}$. Из бифуркационной диаграммы видно, что при маленьких ${\displaystyle c}$ система периодична, но при увеличении быстро становится хаотичной. Рисунки показывают, как именно меняется хаотичность системы при увеличении ${\displaystyle c}$. Например при ${\displaystyle c}$ = 4 аттрактор будет иметь период равный единице, и на диаграмме будет одна единственная линия, то же самое повторится когда ${\displaystyle c}$ = 3 и так далее; пока ${\displaystyle c}$ не станет больше 12: последнее периодичное поведение характеризуется именно этим значением, дальше повсюду идёт хаос.

Приведём иллюстрации поведения аттрактора в указанном диапазоне значений ${\displaystyle c}$, которые иллюстрируют общее поведение таких систем — частые переходы от периодичности к динамическому хаосу.

• Аттрактор Лоренца

• Флэш-анимация
• O.E. ROSSLER — AN EQUATION FOR CONTINUOUS CHAOS (недоступная ссылка)
• Java-анимация аттракторов Рёсслера и Лоренца Архивировано 11 марта 2008 года.
• Конструктор аттракторов для MacOS
• Аттрактор Рёсслера на Scholarpedia.org

• Воронов В. К., Подоплелов А. В. Современная физика: Учебное пособие. М., КомКнига, 2005, 512 с., ISBN 5-484-00058-0, гл. 2 Физика открытых систем. п.п 2.4 Хаотический аттрактор Рёсслера.