Аффинная группа

Аффи́нная гру́ппа (англ. affine group) — множество всех аффинных преобразований плоскости или пространства, которые составляют группу, обозначаемую Aff. Аффинная группа лежит в основе следующих геометрий^[1][2][3][4]:

• обычная, точечная аффинная геометрия;
• линейчатая аффинная геометрия.

Аффинная группа Aff — подгруппа более широкой проективной группы. Аффинная группа состоит из всех проективных преобразований проективной плоскости или проективного пространства, оставляющих на месте соответственно фиксированную прямую или гиперплоскость^[3][5].

В свою очередь, известные подгруппы аффинной группы следующие:

• центроаффинная группа — подгруппа аффинной группы, множество всех аффинных преобразований n-мерного аффинного пространства, которые имеют некоторую неподвижную точку — центр аффинного пространства^[6][7];
• аффинная унимодулярная группа, или эквиаффинная группа SGL (n)^[4], — подгруппа аффинной группы, множество всех аффинных преобразований n-мерного аффинного пространства, которые сохраняют площади и объёмы фигур^{[8][9][10][11][12]};

• центроаффинная унимодулярная группа, или унимодулярная группа SL (n), — подгруппа унимодулярной и центроаффинной групп, множество всех аффинных унимодулярных преобразований n-мерного аффинного пространства, которые сохраняют неподвижной одну точку, называемую центром аффинного пространства^[9][6][7];

• ортогональная группа, или группа евклидовых движений^[4], — подгруппа аффинной группы, множество всех аффинных преобразований n-мерного аффинного пространства, которые сохраняют фиксированную невырожденную квадратичную форму^[13][14][15];

• группа вращений, или специальная ортогональная группа SO (n), — подгруппа ортогональной и центроаффинной унимодулярной групп, множество всех ортогональных преобразований n-мерного аффинного пространства, которые сохраняют неподвижной одну точку^[13][14].

Пусть на проективной плоскости зафиксирована некоторая произвольная прямая. В целях последующего изложения эту прямую назовём бесконечно удалённой прямой и обозначим символом бесконечности ${\displaystyle \infty }$. Тогда множество всех тех преобразований проективной группы, которые суть автоморфизмы относительно прямой ${\displaystyle \infty }$, есть группа — подгруппа проективной группы. Эта группа автоморфизмов называется аффинной, а её преобразования проективной плоскости — аффинными^[5].

Конечные точки проективной плоскости, то есть точки вне прямой ${\displaystyle \infty }$, отображаются аффинным преобразованием только в конечное же точки проективной плоскости. Отсюда следует взаимная однозначность аффинных преобразований на множестве всех конечных точек проективной плоскости. Поэтому аффинной плоскостью называется проективная плоскость, разрезанная по бесконечно удалённой прямой ${\displaystyle \infty }$. Аффинная и евклидова плоскости имеют общую топологическую структуру^[5].

Получим аналитическое представление аффинных преобразований, то есть аналитическое представление аффинной группы. За основу возьмём проективное преобразование проективной плоскости, то есть биекцию проективной плоскости на себя, при которой произвольной точке плоскости с однородными координатами ${\displaystyle M(x_{1},x_{2},x_{3})}$ соответствует точка плоскости ${\displaystyle M^{\prime }(x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },x_{3}^{\prime })}$^[5][16]:

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{1}^{\prime }=c_{11}x_{1}+c_{12}x_{2}+c_{13}x_{3}}$,

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{2}^{\prime }=c_{21}x_{1}+c_{22}x_{2}+c_{23}x_{3}}$,

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{3}^{\prime }=c_{31}x_{1}+c_{32}x_{2}+c_{33}x_{3}}$,

где коэффициенты ${\displaystyle c_{ik}}$ суть вещественные константы, причём выполняется условие равенства нулю определителя

${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\\\end{vmatrix}}\neq 0}$,

а ${\displaystyle \rho ^{\prime }}$ — любое ненулевое вещественное число^[16].

1. Если теперь предположить, что это проективное преобразование таково, что, например, проективная прямая ${\displaystyle x_{3}=0}$ переходит сама в себя, то это проективное преобразование будет аффинным преобразованием, представляющим собой невырожденное однородное линейное преобразование^[17][18]:

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{1}^{\prime }=c_{11}x_{1}+c_{12}x_{2}+c_{13}x_{3}}$,

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{2}^{\prime }=c_{21}x_{1}+c_{22}x_{2}+c_{23}x_{3}}$,

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{3}^{\prime }=c_{33}x_{3}}$.

2. Неравенство нулю коэффициента ${\displaystyle c_{33}\neq 0}$, а также, в случае конечной точки, неравенство нулю значения третьей однородной координаты ${\displaystyle x_{3}\neq 0}$, позволяют арифметизировать в целом аффинную плоскость, то есть сопоставить каждую точку плоскости двум числам, использовав для этого неоднородные координаты ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{3}}}=x}$ и ${\displaystyle {\frac {x_{2}}{x_{3}}}=y}$. В итоге получим аналитическое представление аффинной группы в неоднородных координатах, представляющим собой невырожденное неоднородное линейное преобразование^[17][18]:

${\displaystyle x^{\prime }=a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}$,

${\displaystyle y^{\prime }=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}$,

${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\\\end{vmatrix}}\neq 0}$.

Получается, что однородные координаты не нужны при изучении аффинной группы. Поскольку в неоднородных координатах каждое аффинное преобразование

${\displaystyle x^{\prime }=a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}$,

${\displaystyle y^{\prime }=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}$,

задаётся шестью независимыми параметрами

${\displaystyle a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}}$,

аффинная группа шестичленная^[17].

Распространение результатов, полученных для плоскости, не представит никакого труда на случай высших размерностей^[19].

Пусть на проективном пространстве ${\displaystyle P^{n}}$ размерности ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, зафиксирована некоторая произвольная гиперплоскость размерности ${\displaystyle n-1}$ (при ${\displaystyle n=1}$ эта гиперплоскость вырождается в точку, при ${\displaystyle n=2}$ — в прямую). В целях последующего изложения эту гиперплоскость назовём бесконечно удалённой гиперплоскостью и обозначим символом бесконечности ${\displaystyle \infty }$. Тогда множество всех тех преобразований проективной группы, которые суть автоморфизмы относительно гиперплоскости ${\displaystyle \infty }$, есть группа — подгруппа проективной группы. Эта группа автоморфизмов называется аффинной, а её преобразования проективного пространства ${\displaystyle P^{n}}$ — аффинными^[5].

Конечные точки проективного пространства ${\displaystyle P^{n}}$, то есть точки вне гиперплоскости ${\displaystyle \infty }$, отображаются аффинным преобразованием только в конечное же точки проективного пространства ${\displaystyle P^{n}}$. Отсюда следует взаимная однозначность аффинных преобразований на множестве всех конечных точек проективного пространства ${\displaystyle P^{n}}$. Поэтому аффинным пространством ${\displaystyle A^{n}}$ называется проективное пространство ${\displaystyle P^{n}}$, разрезанная по бесконечно удалённой гиперплоскости ${\displaystyle \infty }$. Аффинное ${\displaystyle A^{n}}$ и евклидово ${\displaystyle E^{n}}$ пространства имеют общую топологическую структуру^[5].

Получим аналитическое представление аффинных преобразований, то есть аналитическое представление аффинной группы. За основу возьмём проективное преобразование проективное пространство ${\displaystyle P^{n}}$, то есть биекцию проективное пространство ${\displaystyle P^{n}}$ на себя, при которой произвольной точке пространства с однородными координатами

${\displaystyle M(x_{i})}$, ${\displaystyle i,j,k=1,2,\ldots ,n+1}$,

соответствует точка плоскости ${\displaystyle M^{\prime }(x_{i}^{\prime })}$^[5][16]:

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{i}^{\prime }=\sum _{k=1}^{n+1}{c_{ik}x_{k}}}$,

или

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{i}^{\prime }=C_{i}^{k}x_{k}}$,

где суммирование записано двумя разными способами (соответственно обычным со знаком суммирования и по правилу суммирования Эйнштейна), коэффициенты ${\displaystyle c_{ik}=C_{i}^{k}}$ суть вещественные константы, причём выполняется условие неравенства нулю определителя

${\displaystyle \Delta =\det(c_{ik})=\det(C_{i}^{k})\neq 0,}$

а ${\displaystyle \rho ^{\prime }}$ — любое ненулевое вещественное число^[16].

1. Если теперь предположить, что это проективное преобразование таково, что, например, проективная гиперплоскость ${\displaystyle x_{n+1}=0}$ переходит сама в себя, то это проективное преобразование будет аффинным преобразованием, представляющим собой невырожденное однородное линейное преобразование^[17][18]:

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{p}^{\prime }=\sum _{k=1}^{n+1}{c_{pk}x_{k}}}$, ${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{n+1}^{\prime }=c_{{n+1}{n+1}}x_{n+1}}$, ${\displaystyle p,q=1,2,\ldots ,n}$,

или

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{p}^{\prime }=C_{p}^{k}x_{k}}$, ${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{n+1}^{\prime }=C_{n+1}^{n+1}x_{n+1}}$.

2. Неравенство нулю коэффициента ${\displaystyle c_{{n+1}{n+1}}\neq 0}$, а также, в случае конечной точки, неравенство нулю значения ${\displaystyle (n+1)}$-й однородной координаты ${\displaystyle x_{n+1}\neq 0}$, позволяют арифметизировать в целом аффинное пространство ${\displaystyle A^{n}}$, то есть сопоставить каждую точку пространства ${\displaystyle n}$ числам, использовав для этого неоднородные координаты ${\displaystyle {\frac {x_{p}}{x_{n+1}}}=x^{p}}$. В итоге получим аналитическое представление аффинной группы в неоднородных координатах, представляющим собой невырожденное неоднородное линейное преобразование^[17][18]:

${\displaystyle x^{\prime p}=\sum _{q=1}^{n}{A_{q}^{p}x^{q}}+a^{p}}$, или ${\displaystyle x^{\prime p}=A_{q}^{p}x^{q}+a^{p}}$,

${\displaystyle \Delta =\det(A_{q}^{p})\neq 0}$.

Получается, что однородные координаты не нужны при изучении аффинной группы. Поскольку в неоднородных координатах каждое аффинное преобразование

${\displaystyle x^{\prime p}=\sum _{q=1}^{n}{A_{q}^{p}x^{q}}+a^{p}}$, или ${\displaystyle x^{\prime p}=A_{q}^{p}x^{q}+a^{p}}$,

задаётся ${\displaystyle n^{2}+n=n(n+1)}$ независимыми параметрами аффинной группы ${\displaystyle A_{q}^{p}}$ и ${\displaystyle a^{p}}$, аффинная группа ${\displaystyle n(n+1)}$-членная^[17].

В предыдущем разделе показано, что множество всех аффинных преобразований пространства образует группу как группа автоморфизмов проективного пространства. С другой стороны. то, что множество всех аффинных преобразований пространства образуют группу, легко установить чисто аналитическими средствами^[20].

Воспользуемся тем обстоятельством, что для доказательства групповых свойств некоторой совокупности преобразований некоторого множества, достаточно выполнения следующих двух свойств этой совокупности преобразований^[21]:

• если два преобразования ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ принадлежат данной совокупности, то их композиция, то есть последовательное выполнение, ${\displaystyle ab}$ также ей принадлежит;
• если преобразование ${\displaystyle a}$ принадлежит данной совокупности, то преобразование ${\displaystyle a^{-1}}$, ему обратное, также ей принадлежит.

Докажем несложными алгебраическими выкладками, что для аффинных преобразований пространства предыдущие два условия выполняются, то есть что совокупность аффинных преобразований пространства образует группу^[22].

Докажем, что композиция аффинных преобразований пространства есть невырожденное неоднородное линейное преобразование с ненулевым определителем, то есть снова аффинное преобразование пространства^[22].

1. Докажем, что композиция аффинных преобразований пространства обладает точно такой же структурой, как и оба аффинных преобразований пространства, использованных в композиции^[23].

2. Докажем, что композиция аффинных преобразований пространства есть невырожденное неоднородное линейное преобразование пространства с определителем, отличным от нуля, то есть аффинное преобразование пространства^[22].

Докажем, что преобразование, обратное аффинному преобразованию пространства, есть невырожденное неоднородное линейное преобразование с ненулевым определителем, то есть снова аффинное преобразование пространства^[22].

• Бескин Н. М. Методы изображений // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 228—290.
• Долгачёв И. В., Широков А. П. Аффинное пространство // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 362—363.
• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 584 с. ISBN 5-9221-0267-2.
• Пархоменко А. С. Аффинное преобразование // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 361—362.
• Пиголкина Т. С. Ортогональное преобразование // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 87—88.
• Попов В. Л. Ортогональная группа // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 81—84.
• Сидоров Л. А. Аффинная унимодулярная группа // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 359.
• Сидоров Л. А. Центроаффинная геометрия // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб. Стб. 811.
• Сидоров Л. А. Эквиаффинная геометрия // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 942.
• Сидоров Л. А. Эквиаффинная плоскость // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 942.
• Широков А. П. Аффинная группа // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 352.
• Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 49—158.