Аффинный шифр
Аффинный шифр — это частный случай более общего моноалфавитного шифра подстановки. К шифрам подстановки относятся также шифр Цезаря, ROT13 и Атбаш. Поскольку аффинный шифр легко дешифровать, он обладает слабыми криптографическими свойствами[1].
Описание
В аффинном шифре каждой букве алфавита размера ставится в соответствие число из диапазона . Затем при помощи модульной арифметики для каждого числа, соответствующего букве исходного алфавита, вычисляется новое число, которое заменит старое в шифротексте. Функция шифрования[2] для каждой буквы
где модуль — размер алфавита, а пара и — ключ шифра. Значение должно быть выбрано таким, что и — взаимно простые числа. Функция расшифрования[2]
где — обратное к число по модулю . То есть оно удовлетворяет уравнению[2]
Обратное к число существует только в том случае, когда и — взаимно простые. Значит, при отсутствии ограничений на выбор числа расшифрование может оказаться невозможным. Покажем, что функция расшифрования является обратной к функции шифрования
Количество возможных ключей для аффинного шифра можно записать через функцию Эйлера как [1].
Примеры шифрования и расшифрования
В следующих примерах используются латинские буквы от A до Z, соответствующие им численные значения приведены в таблице.
A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
Шифрование
В этом примере необходимо зашифровать сообщение «ATTACK AT DAWN», используя упомянутое выше соответствие между буквами и числами, и значения , и , так как в используемом алфавите 26 букв. Только на число наложены ограничения, так как оно должно быть взаимно простым с 26. Возможные значения : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23 и 25[3]. Значение может быть любым, только если не равно единице, так как это сдвиг шифра. Итак, для нашего примера функция шифрования . Первый шаг шифрования — запись чисел, соответствующих каждой букве сообщения.
сообщение | A | T | T | А | C | K | A | T | D | A | W | N |
0 | 19 | 19 | 0 | 2 | 10 | 0 | 19 | 3 | 0 | 22 | 13 |
Теперь, для каждого значения найдем значение . После нахождения значения для каждого символа возьмем остаток от деления на 26. Следующая таблица показывает первые четыре шага процесса шифрования.
сообщение | A | T | T | А | C | K | A | T | D | A | W | N |
0 | 19 | 19 | 0 | 2 | 10 | 0 | 19 | 3 | 0 | 22 | 13 | |
4 | 61 | 61 | 4 | 10 | 34 | 4 | 61 | 13 | 4 | 70 | 43 | |
4 | 9 | 9 | 4 | 10 | 8 | 4 | 9 | 13 | 4 | 18 | 17 |
Последний шаг процесса шифрования заключается в подстановке вместо каждого числа соответствующей ему буквы. В этом примере шифротекст будет «EJJEKIEJNESR». Таблица ниже показывает все шаги по шифрованию сообщения аффинным шифром.
сообщение | A | T | T | А | C | K | A | T | D | A | W | N |
0 | 19 | 19 | 0 | 2 | 10 | 0 | 19 | 3 | 0 | 22 | 13 | |
4 | 61 | 61 | 4 | 10 | 34 | 4 | 61 | 13 | 4 | 70 | 43 | |
4 | 9 | 9 | 4 | 10 | 8 | 4 | 9 | 13 | 4 | 18 | 17 | |
шифротекст | E | J | J | E | K | I | E | J | N | E | S | R |
Расшифрование
Для расшифрования возьмем шифротекст из примера с шифрованием. Функция расшифрования будет , где , и .
Замечание: если каждая , то функция расшифрования принимает вид . (Точно так же, как и в обозреваемом примере, но разберём общий вариант)
Для начала запишем численные значения для каждой буквы шифротекста, как показано в таблице ниже.
шифротекст | E | J | J | E | K | I | E | J | N | E | S | R |
4 | 9 | 9 | 4 | 10 | 8 | 4 | 9 | 13 | 4 | 18 | 17 |
Теперь для каждого необходимо рассчитать и взять остаток от деления этого числа на 26. таблица показывает результат этих вычислений.
шифротекст | E | J | J | E | K | I | E | J | N | E | S | R |
4 | 9 | 9 | 4 | 10 | 8 | 4 | 9 | 13 | 4 | 18 | 17 | |
234 | 279 | 279 | 234 | 288 | 270 | 234 | 279 | 315 | 234 | 360 | 351 | |
0 | 19 | 19 | 0 | 2 | 10 | 0 | 19 | 3 | 0 | 22 | 13 |
Последний шаг операции расшифрования для шифротекста — поставить в соответствие числам буквы. Сообщение после расшифрования будет «ATTACKATDAWN». Таблица ниже показывает выполнение последнего шага.
шифротекст | E | J | J | E | K | I | E | J | N | E | S | R |
4 | 9 | 9 | 4 | 10 | 8 | 4 | 9 | 13 | 4 | 18 | 17 | |
234 | 279 | 279 | 234 | 288 | 270 | 234 | 279 | 315 | 234 | 360 | 351 | |
0 | 19 | 19 | 0 | 2 | 10 | 0 | 19 | 3 | 0 | 22 | 13 | |
сообщение | A | T | T | A | C | K | A | T | D | A | W | N |
programming language
Криптоанализ
Так как аффинный шифр является по сути моноалфавитным шифром замены, то он обладает всеми уязвимостями этого класса шифров. Шифр Цезаря — это аффинный шифр с , что сводит функцию шифрования к простому линейному сдвигу[1].
В случае шифрования сообщений на русском языке (т.е. ) существует 297 нетривиальных аффинных шифров, не учитывая 33 тривиальных шифра Цезаря. Это число легко посчитать, зная, что существует всего 20 чисел взаимно простых с 33 и меньших 33 (а это и есть возможные значения ). Каждому значению могут соответствовать 33 разных дополнительных сдвига (значение ); то есть всего существует 20*33 или 660 возможных ключей. Аналогично, для сообщений на английском языке (т.е. ) всего существует 12*26 или 312 возможных ключей[3]. Такое ограниченное количество ключей приводит к тому, что система крайне не криптостойка с точки зрения принципа Керкгоффса.
Основная уязвимость шифра заключается в том, что криптоаналитик может выяснить (путём частотного анализа[4], полного перебора[1], угадывания или каким-либо другим способом) соответствие между двумя любыми буквами исходного текста и шифротекста. Тогда ключ может быть найден путём решения системы уравнений[4]. Кроме того, так мы знаем, что и — взаимно простые, это позволяет уменьшить количество проверяемых ключей для полного перебора.
Преобразование, подобное аффинному шифру, используется в линейном конгруэнтном методе[5] (разновидности генератора псевдослучайных чисел). Этот метод не является криптостойким по той же причине, что и аффинный шифр.
Примечания
- ↑ 1 2 3 4 S. R. Nagpaul, Surender Kumar Jain. Topics in applied abstract algebra. — AMS. — P. 137-138.
- ↑ 1 2 3 Johannes Buchmann. Introduction to cryptography. — Springer. — P. 95.
- ↑ 1 2 David Salomon. Coding for data and computer communications. — Springer. — P. 204.
- ↑ 1 2 Josef Pieprzyk, Thomas Hardjono, Jennifer Seberry. Fundamentals of computer security. — Springer, 2003. — P. 72-74. — 677 p.
- ↑ Алгоритмы: введение в разработку и анализ. — Издательский дом Вильямс. — С. 130-131.