Барицентрическое подразделение

Барицентри́ческое подразделе́ние симплициального комплекса — определённый тип подразделения комплекса на более мелкие симплексы.

Барицентрическое подразделение симплициального комплекса ${\displaystyle K}$ есть симплициальный комплекс ${\displaystyle K'}$, получающийся заменой симплексов комплекса ${\displaystyle K}$ на более мелкие путём следующего процесса:

• каждый одномерный симплекс (отрезок) делится пополам;
• в предположении, что все симплексы размерности ${\displaystyle \leqslant n-1}$ уже подразделены, разбиение любого n-мерного симплекса ${\displaystyle \Delta }$ определяется посредством конусов над симплексами барицентрического подразделения границы ${\displaystyle \Delta }$ с вершиной в барицентре симплекса ${\displaystyle \Delta }$.

• Вершины барицентрического подразделения находятся во взаимно однозначном соответствии с симплексами исходного комплекса ${\displaystyle K}$.
• Симплексы комплекса барицентрического подразделения находятся во взаимно однозначном соответствии с упорядоченными по включению конечными наборами симплексов из ${\displaystyle K}$.
  • В частности, если ${\displaystyle K}$ — n-мерный комплекс, то вершины его барицентрического подразбиения ${\displaystyle K'}$ допускают раскраску в ${\displaystyle n+1}$ цвет (по одному цвету на размерность соответствующего симплекса в ${\displaystyle K}$) такую, что вершины соединённые ребром имеют разные цвета.
• Диаметр каждого симплекса барицентрического подразделения некоторого n-мерного симплекса не превосходит произведение диаметра исходного симплекса на ${\displaystyle {\tfrac {n}{n+1}}}$.
  • В частности, повторяя операцию барицентрического подразделения, можно сколь угодно сильно уменьшить диаметр каждого симплекса в конечном комплексе.

• Барицентрическое подразделение // Математическая энциклопедия. Т. 1. — М.: Сов. энциклопедия, 1977. — 1152 стб.
• Allen Hatcher. . Algebraic Topology. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — xii + 544 p. — ISBN 0-521-79540-0. — P. 119—121.