Бесконечно удалённая точка

Бесконечно удалённая точка — математический объект, в разных математических теориях представляющий геометрическую актуальную бесконечность^[1].

Бесконечно удалённая точка в классическом математическом анализе — одна из точек $x_{1}=\infty$ и $x_{2}=-\infty$ на расширенной числовой прямой — ${\overline {R}}=R\cup \{+\infty \}\cup \{-\infty \}$ (в некоторых дидактических материалах используется одна бесконечно удалённая точка, не связанная соотношением порядка с вещественными числами).
Бесконечно удалённая точка в комплексном анализе — точка $z=\infty$ на расширенной комплексной плоскости ${\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ .
Бесконечно удалённая точка в проективной геометрии — точка $x=\infty$ , которой дополняется образ евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$ при проективном преобразовании.
Бесконечно удалённые точки в геометрии Лобачевского — граничные точки, расширяющие гиперболическую плоскость.

Примечания

↑ Бесконечно удалённые элементы. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. Архивировано 13 ноября 2013 года.

Примечания

Похожие исследовательские статьи

Веще́ственное число́ — математический объект, возникший из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких вычислительных операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, исследование поведения функций.

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — вещественные числа, $\text{[math]}$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $\text{[math]}$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\text{[math]}$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $\text{[math]}$ Главное свойство $\text{[math]}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $\text{[math]}$ -й степени имеет $\text{[math]}$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Стереографи́ческая проекция — отображение определённого типа из сферы с одной выколотой точкой на плоскость.

Бесконе́чность — категория человеческого мышления, используемая для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, для которых невозможно указание границ или количественной меры. Используется в противоположность конечному, исчисляемому, имеющему предел. Систематически исследуется в математике, логике и философии, также изучаются вопросы о восприятии, статусе и природе бесконечности в психологии, теологии, физике соответственно. Бесконечность обозначается символом $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Преобразование Мёбиуса</span>

Преобразование Мёбиуса — дробно-линейная функция одного комплексного переменного, тождественно не равная константе:

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Сфера Римана</span>

Сфе́ра Ри́мана — наглядное изображение множества $\text{[math]}$ в виде сферы, подобно тому, как множество действительных чисел изображают в виде прямой и как множество комплексных чисел изображает в виде плоскости. По этой причине термин «сфера Римана» часто используется как синоним к термину «множество комплексных чисел, дополненных бесконечно удалённой точкой», наряду с термином «расширенная комплексная плоскость».

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Ко́мпле́ксная пло́скость — геометрическое представление множества комплексных чисел $\text{[math]}$ .

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Ряд Лорана комплексной функции — представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями. Назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Однородные координаты ― система координат, используемая в проективной геометрии, подобно тому, как декартовы координаты используются в евклидовой геометрии.

Вы́чет в комплексном анализе — объект, характеризующий локальные свойства заданной функции или формы.

Проекти́вное простра́нство над полем $\text{[math]}$ — пространство, состоящее из прямых некоторого линейного пространства $\text{[math]}$ над данным полем. Прямые пространства $\text{[math]}$ называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело $\text{[math]}$ . Для полей $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ , и тела $\text{[math]}$ соответствующее проективное пространство называется вещественным $\text{[math]}$ , комплексным $\text{[math]}$ или кватернионным $\text{[math]}$ соответственно.

Важное свойство проективной плоскости — «симметрия» ролей, которые играют точки и прямые в определениях и теоремах, и двойственность является формализацией этой концепции. Имеются два подхода к концепции двойственности: один, использующий язык «принципа двойственности», позволяет объявить ряд теорем двойственными друг к другу, при этом двойственная к верной теореме тоже верна; и другой, функциональный подход, основанный на специальном отображении двойственности. Связь между подходами состоит в том, что двойственная теорема получается применением отображения двойственности к каждому объекту исходной. Возможен и координатный подход.

Промежуток, или, если более точно, промежуток числовой прямой, — это множество вещественных чисел — таких, что если некоторые два числа принадлежат этому множеству, то любое число, лежащее между ними, тоже принадлежит этому множеству. С использованием логических символов это определение можно записать так:

множество

\text{[math]}

является промежутком, только если

\text{[math]}

Расширенная числовая прямая — множество вещественных чисел $\text{[math]}$ , дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , то есть $\text{[math]}$ . Следует понимать, что $\text{[math]}$ не являются числами и имеют немного иную природу, но для них, как и для вещественных чисел, тоже определено отношение порядка. Также сами элементы $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ считаются неравными друг другу.

Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения алгебраической геометрии. Классическое определение алгебраического многообразия — множество решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают его различными способами, но стараются сохранить геометрическую интуицию, соответствующую этому определению.

Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости — это верхняя половина плоскости $\text{[math]}$ , обозначаемая ниже как H, вместе с метрикой, которая делает её моделью двумерной гиперболической геометрии.

Конгруэнц-дзета-функция — прототип для построения важной L-функции Хассе-Вейля, ряд вида

\text{[math]}

Проективно расширенная числовая прямая — множество вещественных чисел $\text{[math]}$ , дополненное одной точкой, называемой бесконечностью.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.