Бета-функция Дирихле

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Бета-функция Дирихле действительного аргумента x

Бе́та-фу́нкция Дирихле́ (Dirichlet beta function) в математике, иногда называемая бета-функцией Каталана (Catalan beta function) — специальная функция, тесно связанная с дзета-функцией Римана. Она является частным случаем L-функции Дирихле. Она названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежён-Дирихле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), а альтернативное название — в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (Eugène Charles Catalan).

Бета-функция Дирихле определяется как[1]

или, эквивалентным образом, через интегральное представление

где Γ(s) — гамма-функция Эйлера. В обоих случаях предполагается, что Re(s) > 0.

Связь с другими функциями

Альтернативное определение через дзета-функцию Гурвица справедливо на всей комплексной плоскости переменной s:

Бета-функция Дирихле также связана с трансцендентной функцией Лерха[англ.] (англ. Lerch transcendent),

Это соотношение также верно на всей комплексной плоскости переменной s[2].

Функциональное соотношение

Соотношение между β(s) и β(1-s) позволяет аналитически продолжить бета-функцию Дирихле на левую часть комплексной плоскости переменной s (то есть для Re(s)<0),

где Γ(s) — гамма-функция Эйлера.

Частные значения

Частные значения бета-функции Дирихле при целых значения аргумента включают в себя

где Gпостоянная Каталана, а — частное значение пентагамма-функции (полигамма-функции третьего порядка).

В общем случае для любого положительного целого k

где полигамма-функция порядка (2k-1), а E2kчисла Эйлера[3].

Для отрицательных значений аргумента (для целых неотрицательных k) мы имеем

то есть β(s) равна нулю для всех целых нечётных отрицательных значений аргумента (см. график функции)[2].

Приблизительные значения

sприблизительное значение β(s)OEIS
10.7853981633974483096156608A003881
20.9159655941772190150546035A006752
30.9689461462593693804836348A153071
40.9889445517411053361084226A175572
50.9961578280770880640063194A175571
60.9986852222184381354416008A175570
70.9995545078905399094963465
80.9998499902468296563380671
90.9999496841872200898213589
100.9999831640261968774055407

Производная бета-функции Дирихле

Для некоторых целых значений аргумента s производная β'(s) может быть вычислена аналитически[2],

(см. также OEIS A113847 и A078127).

Кроме этого, для целых положительных n производную можно представить в виде бесконечной суммы[2]

См. также

Примечания

  1. Christopher Clapham, James Nicholson. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. — Oxford University Press, 2014. — С. 138. — 544 с. — ISBN 9780199679591.
  2. 1 2 3 4 Eric W. Weisstein. Dirichlet Beta Function (HTML). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 10 февраля 2015. Архивировано 30 марта 2015 года.
  3. K. S. Kölbig. The polygamma function for and  (англ.) // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 1996. — Vol. 75. — P. 43—46. — doi:10.1016/S0377-0427(96)00055-6.

Литература

  • J. Spanier & K. B. Oldham. An Atlas of Functions, Hemisphere, New York, 1987
  • Eric W. Weisstein. Dirichlet Beta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.