Биективное доказательство

Биективное доказательство — это техника доказательства, при которой находится биективная функция f : A → B между двумя конечными множествами A и B или сохраняющая размер биективная функция между двумя комбинаторными классами^[англ.], чем доказывается одинаковость числа элементов, |A| = |B|. Место, где техника полезна — когда мы хотим знать размер A, но не можем найти прямого пути подсчёта элементов множества. В этом случае установление биекции между A и некоторым множеством B решает задачу, если число элементов множества B вычислить проще. Другое полезное свойство этой техники — природа биекции само по себе часто даёт мощную информацию о каждом из двух множеств.

Симметрия биномиальных коэффициентов утверждает, что

${\displaystyle {n \choose k}={n \choose n-k}.}$

Это означает, что имеется точно столько же комбинаций k элементов из множества, содержащего n элементов, как и комбинаций n − k элементов.

Заметим, что две величины, для которых мы доказываем равенство, подсчитывают число подмножеств размера k и n − k соответственно любого n-элементного множества S. Существует простая биекция между двумя семействами F_k и F_n − k подмножеств S — она связывает каждое k-элементное подмножество с его дополнением, которое содержит в точности оставшиеся n − k элементов множества S. Поскольку F_k и F_n − k имеют одинаковое число элементов, соответствующие биномиальные коэффициенты должны быть равны.

${\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}$ для ${\displaystyle 1\leq k\leq n-1.}$

Доказательство. Мы считаем число способов выбрать k элементов из n-элементного множества. Снова, по определению, левая часть равенства равна числу способов выбора k элементов из n. Поскольку 1 ≤ k ≤ n − 1, мы можем фиксировать элемент e из n-элементного множества, так что оставшееся подмножество не пусто. Для каждого k-элементного множества, если e выбрано, существует

${\displaystyle {n-1 \choose k-1}}$

способов выбора оставшихся k − 1 элементов среди оставшихся n − 1 возможностей. В противном случае имеется

${\displaystyle {n-1 \choose k}}$

способов выбора оставшихся k элементов среди оставшихся n − 1 возможностей. Тогда есть

${\displaystyle {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}$

способов выбора k элементов.${\displaystyle \Box }$

Задачи, позволяющие комбинаторное доказательство, не ограничены биномиальными коэффициентами. По мере возрастания сложности задачи комбинаторное доказательство становится всё более изощрённым. Техника биективного доказательства полезно в областях дискретной математики, таких как комбинаторика, теория графов и теория чисел.

Наиболее классические примеры биективных доказательств в комбинаторике:

• Код Прюфера, дающий доказательство формулы Кэли для числа помеченных деревьев.
• Алгоритм Робинсона — Шенстеда, дающий доказательство формулы Бёрнсайда для симметрической группы.
• Сопряжение диаграмм Юнга, дающее доказательство классического результата о числе некоторых разбиений целых чисел.
• Биективные доказательства теоремы о пятиугольных числах^[англ.].
• Биективные доказательства формулы для чисел Каталана.

• Бином Ньютона
• Теорема Кантора — Бернштейна
• Двойной подсчёт
• Комбинаторные принципы

• "Division by three" – by Doyle and Conway.
• "A direct bijective proof of the hook-length formula" – by Novelli, Pak and Stoyanovsky.
• "Bijective census and random generation of Eulerian planar maps with prescribed vertex degrees" – by Gilles Schaeffer.
• "Kathy O'Hara's Constructive Proof of the Unimodality of the Gaussian Polynomials" – by Doron Zeilberger.
• "Partition Bijections, a Survey" – by Igor Pak.
• Garsia-Milne Involution Principle – from MathWorld.