Билинейное преобразование

Билине́йное преобразова́ние (или преим. в зап. литературе преобразование Та́стина (англ.: Tustin’s method transformation)) — конформное отображение, используемое для преобразования передаточной функции ${\displaystyle H_{a}(s)\ }$ линейной стационарной системы (например, корректирующего звена системы управления, электронного фильтра и т. п.) непрерывной формы в передаточную функцию ${\displaystyle H_{d}(z)\ }$ линейной системы в дискретной форме.

Оно отображает точки ${\displaystyle j\omega \ }$-оси, ${\displaystyle Re[s]=0\ }$, на s-плоскости в окружность единичного радиуса, ${\displaystyle |z|=1\ }$, на z-плоскости.

Это преобразование сохраняет устойчивость исходной непрерывной системы и существует для всех точек её передаточной функции. То есть, для каждой точки передаточной функции или АФЧХ исходной системы существует подобная точка с идентичными фазой и амплитудой дискретной системы. Однако эта точка может быть расположена на другой частоте. Эффект сдвига частот практически незаметен при небольших частотах, однако существенен на частотах, близких к частоте Найквиста.

Билинейное преобразование представляет собой функцию, аппроксимирующую натуральный логарифм, который является точным отображением z-плоскости на s-плоскость. При применении преобразования Лапласа над дискретным сигналом (представляющего последовательность отсчётов), результатом является Z-преобразование с точностью до замены переменных:

${\displaystyle z\ }$${\displaystyle =e^{sT}\ }$${\displaystyle ={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\ }$${\displaystyle \approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\ ,}$

где ${\displaystyle T\ }$ — период дискретизации (обратная к частоте дискретизации величина).

Аппроксимация, приведённая выше и является билинейным преобразованием.

Обратное преобразование из s-плоскости в z-плоскость и его билинейная аппроксимация записываются следующим образом:

${\displaystyle s\ }$${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\ln(z)\ }$${\displaystyle ={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\ldots \right]\ }$${\displaystyle \approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\approx \ }$${\displaystyle \approx {\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\ .}$

Билинейное преобразование использует это соотношения для замены передаточной функции ${\displaystyle H_{a}(s)\ }$ на её дискретный аналог:

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\ ,}$

то есть:

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)\ .}$

Билинейное преобразование — частный случай преобразования Мёбиуса, определяемого как:

${\displaystyle z^{\prime }={\frac {az+b}{cz+d}}\ .}$

1 (недоступная ссылка) на с. 47

2 глава 3.2.2 Метод билинейного преобразования

Расчет передаточной характеристики БИХ фильтра на основе аналогового фильтра прототипа. Билинейное преобразование  (рус.). Дата обращения: 15 ноября 2010.