Биномиальное распределение
Биномиальное распределение | |
---|---|
Обозначение | |
Параметры | — число «испытаний» — вероятность «успеха» |
Носитель | |
Функция вероятности | |
Функция распределения | |
Математическое ожидание | |
Медиана | одно из |
Мода | |
Дисперсия | |
Коэффициент асимметрии | |
Коэффициент эксцесса | |
Дифференциальная энтропия | |
Производящая функция моментов | |
Характеристическая функция |
Биномиа́льное распределе́ние с параметрами и в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна .
Определение
Пусть — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром , то есть при каждом величина принимает значения («успех») и («неудача») с вероятностями и соответственно. Тогда случайная величина
имеет биномиальное распределение с параметрами и . Это записывается в виде:
- .
Случайную величину обычно интерпретируют как число успехов в серии из одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха в каждом испытании.
Функция вероятности задаётся формулой:
где
Функция распределения
Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:
- ,
где обозначает наибольшее целое, не превосходящее число , или в виде неполной бета-функции:
- .
Моменты
Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:
- ,
откуда
- ,
- ,
а дисперсия случайной величины.
- .
Свойства биномиального распределения
- Пусть и . Тогда .
- Пусть и . Тогда .
Связь с другими распределениями
- Если , то получаем распределение Бернулли.
- Если большое, то в силу центральной предельной теоремы , где — нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией .
- Если большое, а — фиксированное число, то , где — распределение Пуассона с параметром .
- Если случайные величины и имеют биномиальные распределения и соответственно, то условное распределение случайной величины при условии – гипергеометрическое .