Биномиальный ряд

Биномиальный ряд — это Ряд Тейлора для функции ${\displaystyle f}$, заданной выражением ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha },}$ где ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ является произвольным комплексным числом, а |x| < 1. Ряд в явном виде,

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\binom {\alpha }{k}}\;x^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots ,\end{aligned}}}$

(1)

и биномиальный ряд справа в формуле (1) является степенным рядом, выраженном в терминах (обобщённых) биномиальных коэффициентов

${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.}$

Если ${\displaystyle \alpha }$ является неотрицательным целым числом n, то ${\displaystyle (n+2)}$-й член и все последующие члены в последовательности равны 0, поскольку каждый из них содержит множитель ${\displaystyle (n-n)}$, так что в этом случае ряд конечен и образует алгебраическую формулу бинома Ньютона.

Следующие выражения верны для любого комплексного ${\displaystyle \beta }$, но они особенно полезны для работы с отрицательными целыми степенями в формуле (1):

${\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{\beta +1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+\beta \choose k}z^{k}.}$

Чтобы это доказать, подставим ${\displaystyle x=-z}$ в выражение (1) и применим тождество для биномиальных коэффициентов

${\displaystyle {\binom {-\beta -1}{k}}=(-1)^{k}{\binom {k+\beta }{k}}.}$

Сходится ли ряд в формуле (1), зависит значений комплексных чисел ${\displaystyle \alpha }$ и x. Точнее:

1. Если ${\displaystyle |x|<1}$, ряд сходится абсолютно для любого комплексного ${\displaystyle \alpha }$.
2. Если ${\displaystyle \left|x\right|=1}$ ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда либо ${\displaystyle Re(\alpha )>0}$, либо ${\displaystyle \alpha =0}$, где ${\displaystyle Re(\alpha )}$ означает вещественную часть ${\displaystyle \alpha }$.
3. Если ${\displaystyle \left|x\right|=1}$ и ${\displaystyle x\neq -1}$ ряд сходится тогда и только тогда, когда ${\displaystyle Re(\alpha )>-1}$.
4. Если ${\displaystyle x=-1}$ ряд сходится тогда и только тогда, когда либо ${\displaystyle Re(\alpha )>0}$, либо ${\displaystyle \alpha =0}$.
5. Если ${\displaystyle \left|x\right|>1}$ ряд расходится, за исключением случая, когда ${\displaystyle \alpha }$ — неотрицательное целое число (в этом случае ряд становится конечной суммой).

В частности, если ${\displaystyle \alpha }$ не является отрицательным целым числом, ситуация на границе круга сходимости ${\displaystyle |x|=1}$ приведена ниже:

• Если ${\displaystyle Re(\alpha )>0}$ ряд сходится абсолютно.
• Если ${\displaystyle -1<Re(\alpha )\leqslant 0}$ ряд сходится условно, если ${\displaystyle x\neq -1}$, и расходится, если ${\displaystyle x=-1}$.
• Если ${\displaystyle Re(\alpha )\leqslant -1}$ ряд расходится.

Следующее выполняется для любого комплексного числа ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle {\alpha \choose 0}=1,}$

${\displaystyle {\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}\,{\frac {\alpha -k}{k+1}},}$

(2)

${\displaystyle {\alpha \choose k-1}+{\alpha \choose k}={\alpha +1 \choose k}.}$

(3)

Если ${\displaystyle \alpha }$ не является неотрицательным целым (в этом случае биномиальные коэффициенты обращаются, когда ${\displaystyle k}$ больше ${\displaystyle \alpha }$), имеет место следующее асимптотическое соотношение для биномиальных коэффициентов в терминах «o» малое:

${\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-\alpha )k^{1+\alpha }}}\,(1+o(1)),\quad {\text{as }}k\to \infty .}$

(4)

Это, фактически, эквивалентно определению Эйлера для гамма-функции:

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)}},}$

откуда немедленно следуют грубые границы

${\displaystyle {\frac {m}{k^{1+\operatorname {Re} \,\alpha }}}\leqslant \left|{\alpha \choose k}\right|\leqslant {\frac {M}{k^{1+\operatorname {Re} \alpha }}},}$

(5)

для некоторых положительных констант m и M.

Формула (2) для обобщённых биномиальных коэффициентов может быть переписана как

${\displaystyle {\alpha \choose k}=\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {\alpha +1}{j}}-1\right).}$

(6)

Для доказательства (i) и (v) применим признак Д’Аламбера и используем формулу (2) выше, чтобы показать, что когда ${\displaystyle \alpha }$ не является неотрицательным целым, радиус сходимости в точности равен 1. Утверждение (ii) следует из формулы (5) путём сравнения с обобщённым гармоническим рядом

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\;{\frac {1}{k^{p}}},}$

с ${\displaystyle p=1+\operatorname {Re} \alpha }$. Для доказательства (iii) сначала используем формулу (3), чтобы получить

${\displaystyle (1+x)\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1},}$

(7)

а затем используем (ii) и снова формулу (5) для доказательства сходимости правой части, когда ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >-1}$. С другой стороны, ряд не сходится, если ${\displaystyle |x|=1}$ and ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha \leqslant -1}$, снова по формуле (5). Иначе можно заметить, что для всех ${\displaystyle j}$, ${\textstyle \left|{\frac {\alpha +1}{j}}-1\right|\geqslant 1-{\frac {\operatorname {Re} \alpha +1}{j}}\geqslant 1}$. Тогда, по формуле (6), для всех ${\textstyle k,\left|{\alpha \choose k}\right|\geqslant 1}$. Это завершает доказательство утверждения (iii). Перейдём к (iv) и используем тождество (7) выше с ${\displaystyle x=-1}$ и ${\displaystyle \alpha -1}$ вместо ${\displaystyle \alpha }$, и используем формулу (4), чтобы получить

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;(-1)^{k}={\alpha -1 \choose n}\;(-1)^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1))}$

при ${\displaystyle n\to \infty }$. Утверждение (iv) следует теперь из асимптотического поведения последовательности ${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log(n)}}$. (А именно, ${\displaystyle \left|e^{-\alpha \log n}\right|=e^{-\operatorname {Re} \alpha \,\log n}}$ определённо сходится к ${\displaystyle 0}$, если ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >0}$ и расходится к ${\displaystyle +\infty }$, если ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha <0}$. Если ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha =0}$, то ${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-i\operatorname {Im} \alpha \log n}}$ и сходится тогда и только тогда, когда последовательность ${\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \log n}$, что определённо выполняется, если ${\displaystyle \alpha =0}$, но неверно, если ${\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \neq 0}$).

Обычный подход к вычислению суммы биномиального ряда следующий. Если продифференцировать почленно биномиальный ряд в круге сходимости ${\displaystyle \left|x\right|<1}$ и использовать формулу (1), можно получить, что сумма ряда является аналитической функцией, решающей Обыкновенное дифференциальное уравнение ${\displaystyle (1+x)u'(x)=\alpha u(x)}$ с начальным значением ${\displaystyle u(0)=1}$. Единственным решение этой задачи является функция ${\displaystyle u(x)=(1+x)^{\alpha }}$, которая, поэтому, и является суммой биномиального ряда, по меньшей мере для ${\displaystyle \left|x\right|<1}$. Равенство расширяется до ${\displaystyle \left|x\right|=1}$, если ряд сходится, согласно следствию из теоремы Абеля и непрерывности ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }}$.

Первые результаты о биномиальном ряде для неположительных целых степеней получены Исааком Ньютоном при изучении площадей, ограниченных определёнными кривыми. Джон Валлис нашёл на основе этой работы, рассматривая выражения вида ${\displaystyle y=(1-x^{2})^{m}}$, где m дробно, что (выражаясь современным языком) последующие коэффициенты ${\displaystyle c_{k}}$ при ${\displaystyle (-x^{2})^{k}}$ получаются путём умножения предыдущего коэффициента на ${\displaystyle {\tfrac {m-(k-1)}{k}}}$ (как в случае целых степеней), посредством чего дал формулу для этих коэффициентов. Он в явном виде записал следующие выражения^[a]

${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\displaystyle (1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\displaystyle (1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots }$

Биномиальный ряд, поэтому, иногда называется биномиальной теоремой Ньютона. Ньютон не привёл никаких доказательств и никаких указаний о природе данного ряда. Позднее, в 1826 году Нильс Хенрик Абель обсуждал ряд в статье, опубликованной в журнале Крелле и рассмотрел важные вопросы сходимости^[2].

• Биномиальное приближение^[англ.]
• Бином Ньютона

• Niels Abel. Recherches sur la série 1 + (m/1)x + (m(m-1)/1.2)x² + (m(m-1)(m-2)/1.2.3)x³ + ... // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1826. — Т. 1. — С. 311–339.
• Coolidge J. L. The Story of the Binomial Theorem // The American Mathematical Monthly. — 1949. — Т. 56, вып. 3. — С. 147—157. — doi:10.2307/2305028. — JSTOR 2305028.

• Weisstein, Eric W. Binomial Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Binomial Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• binomial formula (англ.) на сайте PlanetMath.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Binomial series", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4