Блочно-ориентированные модели

Блочно-ориентированные модели — это представление нелинейных систем в виде различных комбинаций инерционных звеньев и нелинейных безынерционных математических элементов. Такое представление моделей позволяет связать в явном виде входные и выходные переменные объектов с различной структурой и степенью нелинейности. К таким системам относятся системы типа Гаммерштейна, Винера, Винера-Гаммерштейна, фильтра Заде, обобщенной модели Винера и Sm-системы.

Данные модели применяются при моделировании сложных экономических объектов^[1], в области энергетики^[2], нефтегазовой промышленности^[3] и на других сложных технических объектах. Объектом исследования является нелинейный управляемый одномерный динамический объект с измеряемыми в дискретные моменты времени входом u(t) и выходом у(t).

При представлении нелинейных систем блочно-ориентированными моделями основные результаты в сфере структурной идентификации получены при идентификации дискретными и непрерывными моделями на определенных множествах блочно-ориентированных моделей, состоящих из разных модификаций моделей Гаммерштейна и Винера.

Свойства нелинейности и динамичности таких объектов в ряде случаев невозможно четко разделить. Для упрощения задачи исследуемый нелинейный динамический объект представляют в виде некоторой комбинации линейных динамических блоков и безынерционных нелинейных блоков ^[4].

Определение структуры модели осуществляется из следующего класса непрерывных блочно-ориентированных моделей: ${\displaystyle L=\{s_{i}\mid i=1,2,\dots ,9\}}$ (1) где ${\displaystyle s_{1}}$ — нелинейная статическая модель, ${\displaystyle s_{2}}$ и ${\displaystyle s_{3}}$ — простая и обобщенная модели Гаммерштейна, ${\displaystyle s_{4}}$ и ${\displaystyle s_{5}}$ — простая и обобщенная модели Винера, ${\displaystyle s_{6}}$ — простая каскадная модель Винера-Гаммерштейна, ${\displaystyle s_{7}}$ — расширенная модель Винера, ${\displaystyle s_{8}}$ и ${\displaystyle s_{9}}$ — простая и обобщенная каскадные модели Винера-Гаммерштейна. Обозначим u(t) и y(t) — входная и выходная переменные, соответственно. Нелинейные статистические элементы, входящие в состав моделей, описываются полиномиальными функциями второй степени:

${\displaystyle f_{1}[x[(t)]]=c_{0}+c_{1}x(t)+c_{2}x^{2}(t)}$

${\displaystyle f_{2}[x[(t)]]=d_{0}+d_{1}x(t)+d_{2}x^{2}(t)}$

${\displaystyle c_{i}}$, ${\displaystyle d_{i}(i=0,1,2)}$ — постоянные коэффициенты, ${\displaystyle W(p)}$, ${\displaystyle W_{i}(p)(i=1,2,3,4)}$ — передаточные функции линейных динамических систем с оперативной форме, то есть р означает инерцию дифференцирования: ${\displaystyle p\equiv {\frac {d}{dt}}}$.

Подразумевается, что линейные динамические звенья, входящие в состав класса блочно-ориентированных моделей, устойчивы, то есть корни их характеристических уравнений расположены в левой полуплоскости плоскости корней.

Простая модель Гаммерштейна. Применяется, когда постоянная составляющая выходного периодического сигнала не зависит от изменения частоты входного воздействия.

${\displaystyle y(t)=c_{0}W(0)+c_{1}W(p)u(t)+c_{2}W(p)u^{2}(t)}$

Обобщенная модель Гаммерштейна. Применяется, когда постоянная составляющая выходного сигнала не зависит от изменения частоты входного воздействия. Ее различие от простой модели Гаммерштейна возможно по структурным особенностям модели.

${\displaystyle y(t)=c_{0}+W_{1}(p)u(t)+W_{2}(p)u^{2}(t)}$

Простая модель Винера. Применяется, когда постоянная составляющая выходного периодического сигнала зависит от изменения частоты входного воздействия. Отношение амплитуды первой гармоники к амплитуде второй гармоники и разность между постоянной составляющей и амплитудой второй гармоники не зависят от частоты.

${\displaystyle y(t)=c_{0}+c_{1}W(p)u(t)+c_{2}[W(p)u(t)]^{2}}$

Обобщенная модель Винера. Применяется, когда разность между постоянной составляющей и амплитудой второй гармоники не зависит от частоты, а отношение квадрата амплитуды первой гармоники к амплитуде второй гармоники зависит от частоты.

${\displaystyle y(t)=c_{0}+c_{1}W_{1}(p)u(t)+c_{2}[W_{2}(p)u(t)]^{2}}$

Простая каскадная модель Винера-Гаммерштейна. Применяется, когда разность между постоянной составляющей и амплитудой второй гармоники зависит от частоты.

${\displaystyle y(t)=c_{0}W(0)+c_{1}W_{1}(p)W_{2}(p)u(t)+c_{2}W_{2}(p)[W_{1}(p)u(t)]^{2}}$

Расширенная модель Винера. Применяется, когда все перечисленные выше величины зависят от частоты, однако постоянная составляющая и отношение разности постоянных составляющих при разных амплитудах входного воздействия к амплитуде второй гармоники, представляют собой тригонометрические функции от частоты.

${\displaystyle y(t)=c_{0}+c_{1}W_{1}(p)u(t)+[W_{2}(p)u(t)][W_{3}(p)u(t)]}$

Обобщенная каскадная модель Винера-Гаммерштейна. Применяется, когда постоянная составляющая и отношение разности постоянных составляющих при разных амплитудах входного воздействия к амплитуде второй гармоники, зависят от частоты, однако эти зависимости не являются тригонометрическими функциями от частоты.

${\displaystyle y(t)=c_{0}+c_{1}W_{1}(p)u(t)+W_{3}(p)[W_{2}(p)u(t)]^{2}}$

Расширенная каскадная модель Винера-Гаммерштейна. Применяется, когда постоянная составляющая представляет собой тригонометрическую функцию от частоты, однако отношение разности постоянных составляющих при разных амплитудах входного воздействия к амплитуде второй гармоники зависит от частоты, однако эта зависимость не является тригонометрической функцией от частоты.

${\displaystyle y(t)=c_{0}+c_{1}W_{1}(p)u(t)+W_{4}(p){[W_{2}(p)u(t)][W_{3}(p)u(t)]}}$

Простая каскадная модель Гаммерштейна-Винера^[5]. Применяется, когда выходной периодический сигнал содержит третью и четвертую гармонику.${\displaystyle y(t)=d_{0}+c_{0}d_{1}W(0)+c_{0}^{2}d_{2}W^{2}(0)+[c_{1}d_{1}W(p)+2c_{0}c_{1}d_{2}W(0)W(p)]u(t)+[c_{2}d_{1}W(p)+c_{1}^{2}d_{2}W^{2}(p)+2c_{0}c_{2}d_{2}W(0)W(p)]u^{2}(t)+2c_{1}c_{2}d_{2}W^{2}(p)u^{3}(t)+c_{2}^{2}d_{2}W^{2}(p)u^{4}(t)}$

Модель фильтра Заде. Применяется, когда постоянная составляющая выходного периодического сигнала не зависит от степени нелинейного преобразования.

${\displaystyle y(t)=y_{0}+\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}\int \limits _{0}^{t}h_{t}(\theta )x^{i}(t-\theta )\,d\theta +\gamma (t)}$