Брахистохрона

Брахистохро́на (от греч. βράχιστος «кратчайший» + χρόνος «время») — кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в июне 1696 года Иоганном Бернулли следующим образом:

Решением задачи о брахистохроне является дуга циклоиды с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке ${\displaystyle A}$, или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке ${\displaystyle A}$.

Примечательно, что время спуска до нижней точки не зависит от расположения начальной точки на дуге циклоиды.

На статью Иоганна Бернулли откликнулись Исаак Ньютон, Якоб Бернулли, Г. В. Лейбниц, Г. Ф. Лопиталь, Э. В. Чирнхаус. Все они, как и сам Иоганн Бернулли, решили задачу разными способами. Метод решения, полученного 26 января 1697 года Исааком Ньютоном, лёг в основу важнейшей области естествознания — вариационного исчисления.

Пусть имеются две произвольные точки, расположенные на разных ординатах. Далее пусть произвольная материальная точка M скатывается от точки A к точке B под действием только силы тяжести (силы трения отсутствуют). Найдём такую траекторию, при которой время скатывания будет минимально.

Направим ось ординат вниз и сопоставим начальной точке нулевое значение ординаты. Запишем закон сохранения энергии для материальной точки M:

${\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}=mgy,}$

где

${\displaystyle m}$ — масса тела,

${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения,

${\displaystyle y}$ — ордината,

${\displaystyle v}$ — скорость движения тела.

Получаем:

${\displaystyle v={\sqrt {2gy}},}$

откуда можно найти значение проекции скорости на ось ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle v_{x}={\frac {v}{\sqrt {1+(y')^{2}}}}={\frac {\sqrt {2gy}}{\sqrt {1+(y')^{2}}}}.}$

Поскольку время на спуск равняется ${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{v_{x}}}\,dx}$, то задача сводится к минимизации значения интеграла

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{a}^{b}{\sqrt {\frac {1+(y')^{2}}{y}}}\,dx.}$

• Клейбер И. А. Брахистохрона // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

• Страница с Java-апплетом, строящим брахистохрону и анимирующим движение по ней
• Решение Я. Бернулли задачи о брахистохроне