Булево кольцо

Булево кольцо — кольцо с идемпотентным умножением, то есть, кольцо ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$, в котором ${\displaystyle x^{2}=x}$ для всех ${\displaystyle x\in R}$^[1][2][3].

Самый известный пример булева кольца получается из булевой алгебры ${\displaystyle (B,\land ,\lor ,\lnot )}$ введением сложения и умножения следующим образом:

• ${\displaystyle x+y=(x\land \lnot y)\lor (\lnot x\land y)}$,
• ${\displaystyle x\cdot y=x\land y}$.

В частности, булеан некоторого множества ${\displaystyle X}$ образует булево кольцо относительно симметрической разности и пересечения подмножеств. В связи с этим основным примером, вводящим сложение в булевом кольце как «исключающее или» для булевых алгебр, а умножение — как конъюнкцию, для сложения в булевых кольцах иногда используются символ ${\displaystyle \oplus }$, а для умножения — знаки решёточной нижней грани (${\displaystyle \land }$, ${\displaystyle \cap }$, ${\displaystyle \sqcap }$).

Всякое булево кольцо, полученное таким образом из булевой алгебры, обладает единицей, совпадающей с единицей исходной булевой алгебры. Кроме того, всякое булево кольцо с единицей ${\displaystyle (R,+,\cdot ,1)}$ однозначно определяет булеву алгебру следующими определениями операций:

• ${\displaystyle x\land y=x\cdot y}$,
• ${\displaystyle x\lor y=x+y+xy}$,
• ${\displaystyle \lnot x=1+x}$.

В каждом булевом кольце ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ выполнено ${\displaystyle x+x=0}$ как следствие идемпотентности относительно умножения:

${\displaystyle x+x=(x+x)^{2}=x+x+x+x}$,

и так как ${\displaystyle (R,+)}$ в кольце является абелевой группой, то можно вычесть компонент ${\displaystyle x+x}$ из обеих частей этого уравнения.

Всякое булево кольцо коммутативно, что также является следствием идемпотентности умножения:

${\displaystyle x+y=(x+y)^{2}=x^{2}+xy+yx+y^{2}=x+y+xy+yx}$,

что даёт ${\displaystyle xy+yx=0}$, что, в свою очередь, означает ${\displaystyle xy=yx}$.

Всякое нетривиальное конечное булево кольцо является прямой суммой полей вычетов по модулю 2 (${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$) и обладает единицей.

Факторкольцо ${\displaystyle R/I}$ любого булева кольца по произвольному идеалу ${\displaystyle I}$ также является булевым кольцом. Таким же образом, любое подкольцо некоторого булева кольца является булевым кольцом. Каждый простой идеал ${\displaystyle P}$ в булевом кольце ${\displaystyle R}$ является максимальным: факторкольцо ${\displaystyle R/P}$ является областью целостности, а также булевым кольцом, поэтому оно изоморфно полю ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$, что показывает максимальность ${\displaystyle P}$. Так как максимальные идеалы всегда простые, понятия простого и максимального идеалов совпадают для булевых колец.

Булевы кольца являются абсолютно плоскими, то есть любой модуль над ними является плоским.

Каждый идеал с конечным числом образующих булева кольца является главным.

• M. Atiyah, I. G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra. — Westview Press, 1969. — ISBN 978-0-201-40751-8.
• John B. Fraleigh. A First Course In Abstract Algebra. — 2nd. — Reading: Addison-Wesley, 1976. — ISBN 0-201-01984-1.
• I. N. Herstein. Topics In Algebra. — Waltham: Blaisdell Publishing, 1964. — ISBN 978-1114541016.
• Neal H. McCoy. Introduction To Modern Algebra. — revised. — Boston: Allyn and Bacon, 1968.