Вариация множества

Вариация множества — число, характеризующее ${\displaystyle k}$-мерную протяженность множества в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве.

Нулевая вариация множества ${\displaystyle V_{0}(E)}$ замкнутого ограниченного множества ${\displaystyle E}$ — это число компонент этого множества. Для простейшего случая плоскости вариация первого порядка ${\displaystyle V_{1}(E)}$ называется линейной вариацией множества и представляет собой интеграл:

${\displaystyle V_{1}(E)=c\int \limits _{0}^{2\pi }\Phi (\alpha ,\;E)\,d\alpha }$

от функции

${\displaystyle \Phi (\alpha ,\;E)=\int \limits _{\Pi _{\alpha }}V_{0}(E\cap \Pi _{\alpha ,\;z}^{\perp })\,dz,}$

где интегрирование ведётся по прямой ${\displaystyle \Pi _{\alpha }}$, проходящей через начало координат;

${\displaystyle \alpha }$ — угол наклона ${\displaystyle \Pi _{\alpha }}$ к фиксированной оси; ${\displaystyle \Pi _{\alpha ,\;z}^{\perp }}$ — прямая, перпендикулярная к ${\displaystyle \Pi _{\alpha }}$ и пересекающая её в точке ${\displaystyle z}$.

Нормирующая константа ${\displaystyle c}$ выбирается так, чтобы вариация ${\displaystyle V_{1}(E)}$ отрезка ${\displaystyle E}$ совпадала с его длиной. Для достаточно простых множеств, например, для спрямляемых кривых, вариация множества равна длине кривой. Для замкнутой области ${\displaystyle E}$ со спрямляемой границей ${\displaystyle \Gamma }$ линейная вариация множества ${\displaystyle V_{1}(E)}$ равна половине длины ${\displaystyle \Gamma }$.

Вторая вариация множества (то есть порядка 2) есть двумерная мера множества ${\displaystyle E}$. При ${\displaystyle k>2}$ ${\displaystyle V_{k}(E)=0}$.

Для ${\displaystyle n}$-мерного евклидова пространства вариацией ${\displaystyle V_{i}(E)}$ порядка ${\displaystyle i=0,\;1,\;\ldots ,\;n}$ ограниченного замкнутого множества ${\displaystyle E}$ называется интеграл ${\displaystyle V_{k}(E)=\int \limits _{\Omega _{k}^{n}}V_{0}(E\cap \beta )\,d\mu _{\beta }}$ от нулевой вариации пересечения ${\displaystyle E}$ с ${\displaystyle (n-k)}$-мерной плоскостью ${\displaystyle \beta }$ по пространству ${\displaystyle \Omega _{k}^{n}}$ всех ${\displaystyle (n-k)}$-мерных плоскостей из ${\displaystyle R_{n}}$, с мерой Хаара ${\displaystyle d\mu _{\beta }}$, нормированной так, чтобы единичный ${\displaystyle k}$-мерный куб ${\displaystyle J_{k}}$ имел вариацию множества ${\displaystyle V_{k}(J_{k})=1}$.

Вариация множества ${\displaystyle V_{n}(E)}$ совпадает с ${\displaystyle n}$-мерной мерой Лебега множества ${\displaystyle E}$. Для выпуклых тел вариация множества при надлежащей нормировке совпадает со смешанными объемами Минковского^[1].

• Для ${\displaystyle E\subset R_{n}\subset R_{n'}}$ вариация множества ${\displaystyle V_{k}(E)}$ не зависит от того, вычисляется она для ${\displaystyle E\subset R_{n}}$ или для ${\displaystyle E\subset R_{n'}}$.
• Для вариаций множеств справедлива следующая формула:

${\displaystyle \int \limits _{\Omega _{k}^{n}}V_{i}(E\cap \beta )\,d\mu _{\beta }=c(n,\;k,\;i)V_{k+i}(E),\quad k+i\leqslant n,}$

где ${\displaystyle c(n,\;k,\;i)}$ — нормирующая константа.

• Из ${\displaystyle V_{i}(E)=0}$ следует, что ${\displaystyle V_{i+1}(E)=0}$.
• Для любой последовательности чисел ${\displaystyle a_{0},\;a_{1},\;\ldots ,\;a_{n}}$, где ${\displaystyle a_{0}>0}$ — целое, ${\displaystyle 0<a_{i}\leqslant \infty }$, ${\displaystyle i=1,\;2,\;\ldots ,\;n-1}$; ${\displaystyle a_{n}=0}$, можно построить множество ${\displaystyle E\subset R_{n}}$, для которого ${\displaystyle V_{i}(E)=a_{i}}$, ${\displaystyle i=0,\;l,\;2,\ldots ,\;n}$. В этом выражается в некотором смысле независимость вариаций множества друг от друга.
• ${\displaystyle V_{i}(E_{1}\cup E_{2})=V_{2}(E_{i})+V_{i}(E_{2})}$, если ${\displaystyle E_{1}}$ и ${\displaystyle E_{2}}$ не пересекаются. В общем случае

${\displaystyle V_{i}(E_{1}\cup E_{2})\leqslant V_{2}(E_{i})+V_{i}(E_{2}).}$

Для ${\displaystyle i=0,\;2,\;\ldots ,\;n-1}$ вариации множества ${\displaystyle V_{i}}$ не монотонны, то есть может оказаться, что ${\displaystyle V_{i}(E_{1})<V_{i}(E_{2})}$ для ${\displaystyle E_{1}\supset E_{2}}$.

• Вариации множеств полунепрерывны, то есть если последовательность замкнутых ограниченных множеств ${\displaystyle E_{k}}$ сходится (в смысле метрики уклонений) к множеству ${\displaystyle E}$, то

${\displaystyle V_{0}(E)\leqslant \varliminf _{k\to \infty }V_{0}(E_{n}).}$

Если ${\displaystyle V_{0}(E_{k})+\ldots +V_{i-1}(E_{k})}$ равномерно ограничены суммы, то

${\displaystyle V_{i}(E)\leqslant \varliminf _{k\to \infty }V_{i}(E_{n}),\quad i=1,\;2,\;\ldots ,\;n.}$

• Вариация множества ${\displaystyle V_{k}(E)}$ совпадает с ${\displaystyle k}$-мерной мерой Хаусдорфа множества ${\displaystyle E}$, если ${\displaystyle V_{k+1}(E)=0}$, а

${\displaystyle V_{0}(E)+V_{1}(E)+\ldots +V_{k}(E)<\infty .}$

Эти условия выполняются, например, для дважды гладких многообразий.

Понятие «вариация множества» возникло в связи с исследованием решений системы Коши — Римана и в окончательной формулировке принадлежит А. Г. Витушкину. Вариация множества является полезным аппаратом при решении некоторых задач анализа, в частности при изучении суперпозиций функций многих переменных^[2], а также в вопросах аппроксимации^[3][4].

• Витушиин А. Г. Доклады АН СССР. — 1966. — т. 166. — № 5. — с. 1022—1025.
• Иванов Л. Д. Математический сборник. — 1967. — т. 72(114). — № 3. — с. 445—470.
• Иванов Л. Д. Математический сборник. — 1969. — т. 78(120). — № 1. — с. 85—100.
• Иванов Л.Д. Вариации множеств и функций. — М.: Наука, 1975. — 352 с.