Вариация поворота кривой

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Кривая с вариацией поворота

Вариация поворота кривой — интеграл кривизны кривой по её длине.

Определение

Вариация поворота кривой на плоскости или в пространстве определяется как точная верхняя грань суммы внешних углов вписанной в ломаной.

В случае если кривая замкнута, вписанная ломаная также предполагается замкнутой.

Замечания

  • Если гладкая кривая, параметризованная длиной, — её кривизна, то вариация поворота равна интегралу модуля кривизны:
  • Вариация поворота гладкой регулярной кривой можно также определить как длину её касательной индикатрисы; то есть кривой образованной единичными касательными векторами .

Свойства

  • Теорема Фенхеля о повороте кривой: Вариация поворота любой замкнутой кривой не менее . Более того, в случае равенства кривая является плоской и выпуклой.
  • Теорема Фари — Милнора о повороте узла: Вариация поворота любого узла больше .
  • Неравенство ДНК. Если замкнутая плоская кривая лежит в выпуклой фигуре с периметром то её длина не превосходит её вариацию поворота.[1]
  • Теорема Усова о геодезической: Вариация поворота геодезической на графике выпуклой функции не превосходит её удвоенной константы Липшица.[2]
  • Угловая длина замкнутой кривой относительно произвольной точки не превосходит её вариации поворота.[3]
  • Вариация поворота кратчайшей на замкнутой выпуклой поверхности ограничена универсальной константой.[4]

Вариации и обобщения

Примечания

  1. Назаров, Александр Ильич, Федор Владимирович Петров. О гипотезе С. Л. Табачникова // Алгебра и анализ. — 2007. — Т. 19, № 1. — С. 177—193..
  2. В. В. Усов. "О длине сферического изображения геодезической на выпуклой поверхности." Сибирский математический журнал 17.1 (1976), с. 233—236
  3. A. Petrunin, S. Stadler. Six proofs of the Fáry–Milnor theorem (англ.) // arXiv:2203.15137 [math.HO]. Архивировано 31 марта 2022 года.
  4. N. Lebedeva, A. Petrunin. On the total curvature of minimizing geodesics on convex surfaces // Алгебра и анализ. — 2017. — Т. 29, № 1. — С. 189—208.

Литература

  • Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.