Вариация функционала

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Вариация функционала, или первая вариация функционала, — обобщение понятия дифференциала функции одной переменной, главная линейная часть приращения функционала вдоль определенного направления. Понятие используется в теории экстремальных задач для получения необходимых и достаточных условий экстремума. Именно такой смысл вкладывается в этот термин, начиная с работы 1762 года Ж. Лагранжа[1]. Ж. Лагранж рассматривал по преимуществу функционалы классического вариационного исчисления (действие) вида:

Формальное определение

Рассмотрим изменение функционала (*) от одной точки функционального пространства к другой (от одной функции к другой). Для этого сделаем замену и подставим в выражение (*). При допущении о непрерывной дифференцируемости имеет место равенство, аналогичное выражению для дифференциала функции:

где остаточный член  — расстояние между функциями и , а . При этом линейный функционал называется (первой) вариацией функционала и обозначают через .

Применительно к функционалу (*) для первой вариации имеет место равенство с точностью до величины порядка высшего, чем :

где

- обобщённый импульс.

При этом , поскольку

Равенство нулю первой вариации для всех является необходимым условием экстремума функционала . Для функционала (*) из этого необходимого условия и основной леммы вариационного исчисления следует уравнение Эйлера:

Аналогичным образом определяются вариации более высоких порядков.

Общее определение первой вариации в бесконечномерном анализе было дано французским математиком Рене Гато[англ.] в 1913 году. По сути своей определение Гато тождественно с определением Лагранжа[2].

Первая вариация функционала является однородным, но не обязательно линейным функционалом, вариация функционала при дополнительном предположении о линейности и непрерывности (по ) выражения обычно называется производной Гато. В современной математике термины «вариация Гато», «производная Гато», «дифференциал Гато» более употребимы, чем вариация функционала[3]. При этом термин «вариация функционала» сохраняется лишь для функционалов классического вариационного исчисления.

Литература

  • Лаврентьев, M. А., Люстерник, Л. А. Курс вариационного исчисления. — в 2-х тт. — 2-е изд. — М.Л.: ОНТИ, 1953.

Примечания

  1. Lagrange J. Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies. — Turin, 1762.
  2. Gateaux R. Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1919. — t. 47. — p. 70—96.
  3. Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — 1140 с.