Величина (математика)

Математическая величина — одно из основных понятий математики, означающее, нестрого говоря, то, что можно измерить^[1]. Более строго, величины — это математические объекты, для которых может быть определено отношение неравенства и операция сложения, а также выполняются ряд свойств, включая аксиомы Архимеда и непрерывности. Величины могут быть постоянными или переменными, несколько величин могут быть связаны между собой алгебраически или иным способом.

Первоначально была определена положительная скалярная величина с отношением неравенства и операцией сложения. Среди её обобщений векторы и тензоры, для которых нельзя определить отношение неравенства, «неархимедовы» величины, для которых не выполняется аксиома Архимеда. Система действительных чисел также может рассматриваться как система величин.

Для однородных скалярных величин устанавливается отношение неравенства и смысл операции сложения. Они обладают следующими свойствами^[2]:

1. для любых a и b имеет смысл только одно из трёх соотношений: или a = b, или a > b, или a < b;
2. выполняется транзитивность отношений меньше и больше, то есть если a < b и b < c, то a < c;
3. существует однозначно определённая сумма любых двух величин, то есть c = a + b;
4. выполняется коммутативность сложения, то есть a + b = b + a;
5. выполняется ассоциативность сложения, то есть a + (b + c) = (a + b) + c;
6. выполняется монотонность сложения, то есть a + b > a;
7. существует однозначно определённая возможность вычитания, то есть если a > b, то существует c, такое, что b + c = a;
8. существует возможность деления, то есть для любого а и натурального числа n существует b, такое, что bn = a;
9. выполняется аксиома Архимеда, то есть для любых a и b существует натуральное n, такое, что a < nb;
10. выполняется аксиома непрерывности.

Величина является абстрактным понятием, которое выражает категорию количества. Скалярная величина характеризуется одним числом^[3].

С развитием математики смысл понятия величины подвергался обобщениям. Понятие было расширено на «нескалярные» величины, для которых определено сложение, но не определено отношение порядка. К ним относятся векторы и тензоры. Следующим расширением стал отказ от аксиомы Архимеда или использование её с некоторыми оговорками (например, натуральность числа n для положительных скалярных величин). Такие величины используются в отвлечённых математических исследованиях^[2].

Кроме того, используются постоянные и переменные величины. При рассмотрении переменных величин принято говорить, что в различные моменты времени они принимают различные числовые значения^[2].

Евклид (III век до н. э.) ввёл понятие положительной скалярной величины, что являлось непосредственным обобщением таких конкретных понятий, как длина, площадь, объём, масса^[2]. В пятой книге «Начал» сформулированы основные свойства величины (возможно, она принадлежит перу Евдокса), в седьмой книге рассматриваются числа и даётся определение величины, в десятой книге рассматриваются соизмеримые и несоизмеримые величины^[4]. Древнегреческие математики развили теорию измерения величин, основанную на первых девяти свойствах величины (включая аксиому Архимеда)^[2].

Род величины связан со способом сравнения объектов. Например, понятие длины вытекает из сравнения отрезков с помощью наложения: отрезки имеют одинаковую длину, если совпадают при наложении, и длина одного отрезка меньше длины другого, если при наложении первый отрезок не покрывает второй целиком. Сравнение плоских фигур приводит к понятию площади, пространственных тел — объёма^[2]. Свои соображения Евклид иллюстрировал операциями с отрезками, но сам при этом рассматривает величины как абстрактные понятия. Его теория применяется к углам и времени^[4].

Греческие математики рассматривали величины, которые можно было измерить линейкой с единичной длиной и циркулем^[4]. Система всех длин, находящихся в рациональном отношении к единичной длине, удовлетворяет требованиям 1—9, но не охватывает систему всех длин вообще. Открытие существования несоизмеримых отрезков приписывается Пифагору (VI век до н. э.)^[2]. Арабские математики рассматривали более сложные величины, в частности, решали кубические уравнения геометрическими методами^[4]. Для полного определения системы положительных скалярных величин была введена аксиома непрерывности. В результате все величины системы однозначно представляются в виде a = αl, где α — положительное действительное число, а l — единица измерения^[2].

Следующим этапом стало рассмотрение направленных отрезков на прямой и противоположно направленных скоростей. Если к системе положительных скалярных величин добавить нуль и отрицательные величины, то полученное обобщение, получившее название скалярной величины, является основным в механике и физике. В таком обобщении — это любое действительное число (положительное, отрицательное или равное нулю). Данное обобщение прибегает к понятию числа, но того же можно добиться изменением в формулировке свойств^[2].

Математики исламского мира соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин^[5].

Декарт ввёл понятие переменной величины^[3].

В XVII веке вещественные числа тесно ассоциировались с понятием величины, а математика считалась наукой о величинах^[6].

• Абсолютная величина
• Параметр

• Matvievskaya, Galina. The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics (англ.) // Annals of the New York Academy of Sciences^[англ.] : journal. — 1987. — Vol. 500. — doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x.