Внешне не связанные уравнения

Вне́шне несвя́занные уравне́ния (англ. Seemingly Unrelated Regressions (SUR)) — система эконометрических уравнений, каждое из которых является самостоятельным уравнением со своей зависимой и объясняющими экзогенными переменными. Модель предложена Зельнером в 1968 году. Важной особенностью данных уравнений является то, что несмотря на кажущуюся несвязанность уравнений их случайные ошибки предполагаются коррелированными между собой.

Пусть имеется m эконометрических линейных уравнений, каждое из которых в матричной форме можно записать следующим образом:

${\displaystyle y_{i}=X_{i}b_{i}+\varepsilon _{i}~,~i=1,\ldots ,m}$

Предполагается, что случайная ошибка каждого уравнения удовлетворяет классическим предположениям об отсутствии гетероскедастичности и автокорреляции, то есть ковариационная матрица вектора случайных ошибок каждого уравнения имеет вид: ${\displaystyle V(\varepsilon _{i})=\sigma _{i}^{2}I_{n}}$. Тем не менее, может иметь место корреляция случайных ошибок между уравнениями (в одном и том же наблюдении). Кроме того, дисперсии случайных ошибок в разных уравнениях, вообще говоря, не одинаковы. Обозначим ковариации между случайными ошибками в разных уравнениях ${\displaystyle \sigma _{ij}}$. Тогда для каждого наблюдения вектор случайных ошибок уравнений имеет ковариационную матрицу ${\displaystyle \Sigma =[\sigma _{ij}]}$.

Введём обозначения

${\displaystyle y={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}~,}$ ${\displaystyle X={\begin{pmatrix}X_{1}&0&\ldots &0\\0&X_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &X_{m}\end{pmatrix}}~,}$ ${\displaystyle b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}~,}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\vdots \\\varepsilon _{m}\end{pmatrix}}}$

Тогда можно модель представить в следующем виде, аналогичном обычной линейной регрессии:

${\displaystyle y=Xb+\varepsilon }$

Ковариационная матрица вектора случайных ошибок такой модели будет иметь блочный вид, каждый из блоков которой равен ${\displaystyle \sigma _{ij}I_{n}}$. Это упрощённо можно записать через матрицу ${\displaystyle \Sigma }$ с помощью произведения Кронекера:

${\displaystyle V(\varepsilon )=\Sigma \otimes I_{n}}$

Поскольку каждое уравнение по предположению удовлетворяет классическим предположениям, то можно применить обычный метод наименьших квадратов для оценки их параметров. Однако, такой подход не учитывает дополнительную информацию о корреляциях между уравнениями. Более эффективные оценки можно получить, если использовать обобщённый метод наименьших квадратов:

${\displaystyle {\hat {b}}_{SUR}=\left(X^{T}V^{-1}X\right)^{-1}X^{T}V^{-1}y~,~V^{-1}=\Sigma ^{-1}\otimes I_{n}}$

Однако, проблема применения обобщённого МНК, как известно, заключается в неизвестности ковариационной матрицы ошибок, в данном случае матрицы ${\displaystyle \Sigma }$. Поэтому используется следующая двухшаговая процедура доступного обобщённого МНК (FGLS). На первом шаге применяется обычный МНК и находятся остатки уравнений. На основании этих остатков оценивается матрица ${\displaystyle \Sigma }$ : ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}=e_{i}^{T}e_{j}/n}$ и далее применяется обобщённый МНК. Теоретически процедуру можно продолжить итеративно используя вновь полученные остатки для повторной оценки ковариационной матрицы и применения обобщённого МНК.

Полученные таким образом оценки являются состоятельными и асимптотически нормальными. Очевидно, если матрица ${\displaystyle \Sigma }$ диагональна, то есть когда случайные ошибки разных уравнений не коррелируют между собой, то такие оценки совпадут с оценками обычного МНК. То же самое имеет место, когда все уравнения содержат один и тот же набор переменных, то есть ${\displaystyle X_{1}=X_{2}=...=X_{m}}$.

Кроме указанных основных подходов возможно также применение метода максимального правдоподобия при предположении о нормальности распределения случайных ошибок.

• Система одновременных уравнений
• Метод наименьших квадратов