Воеводский, Владимир Александрович

Владимир Александрович Воеводский
Воеводский, 2011 год
Дата рождения	4 июня 1966(1966-06-04)[1][2]
Место рождения	Москва, СССР
Дата смерти	30 сентября 2017(2017-09-30)[2] (51 год)
Место смерти	Принстон, Нью-Джерси
Страна	СССР  США
Род деятельности	математик
Научная сфера	алгебраическая геометрия, топология, теория Галуа и основания математики
Место работы	Институт перспективных исследований
Альма-матер	Гарвардский университет мехмат МГУ МГУ
Учёная степень	доктор философии
Учёное звание	профессор
Научный руководитель	Давид Каждан
Награды и премии	Филдсовская премия (2002)
Медиафайлы на Викискладе

Владимир Александрович Воеводский (4 июня 1966^[1][2], Москва — 30 сентября 2017^[2], Принстон, Нью-Джерси) — советский, российский и американский математик, внёсший значительный вклад в алгебраическую геометрию и основания математики. Лауреат Филдсовской премии (2002), постоянный профессор Института перспективных исследований.

Среди основных результатов на стыке алгебраической геометрии и алгебраической топологии — построение теории мотивных когомологий^[англ.] и доказательство её средствами гипотезы Милнора^[англ.] и гипотезы Блоха — Като^[англ.], составлявших существенную проблемную часть алгебраической ${\displaystyle K}$-теории^{[англ.][⇨]}. В области оснований математики инициировал и внёс решающий вклад в программу создания унивалентных оснований математики — формального языка для абстрактных разделов математики, обеспечивающего автоматическую проверку доказательств на компьютере^[⇨].

Родился в семье учёных — выпускников МГУ, отец — астрофизик, лауреат Государственной премии за работы по созданию Баксанской нейтринной обсерватории (1998)^[3], мать — химик, специалист по ядерному магнитному резонансу. Раннее детство провёл в коммунальной квартире на площади Ногина, впоследствии семья переселилась в отдельную квартиру в Малом Ивановском переулке^[4].

В старших классах сменил несколько школ, аттестат о среднем образовании получил в 1983 году, в формировании строгого и точного математического мышления отмечал влияние учебника по геометрии под редакцией Колмогорова^[5][4]. В том же году поступил на механико-математический факультет МГУ. Получив из-за сильной аллергии «белый билет» — освобождение от срочной воинской службы, отсрочку от которой не предоставляли прервавшим обучение в вузе, взял академический отпуск, после возвращения из которого был отчислен, но впоследствии восстановился^[6].

Во время учёбы в университете увлёкся алгебраической геометрией, в числе причин указывал на работу в этой области таких интересных людей, как Игорь Шафаревич^[4]. Во время академического отпуска подрабатывал преподавателем программирования на учебно-производственном комбинате, там встретился с Георгием Шабатом. Шабат познакомил Воеводского с Программой Гротендика, к которой впоследствии неоднократно обращался в своём творчестве, к осмыслению и развитию идей программы относятся и первые научные исследования Воеводского, проведённые совместно с Шабатом и вылившиеся в ряд публикаций^[7][8], одна из которых получила одобрение Гротендика. В 1989 году, по результатам I семестра четвёртого курса, несмотря на наличие опубликованных работ в ведущих журналах, окончательно отчислен из университета за академическую неуспеваемость^[6].

В 1989—1990 годы опубликовал несколько работ вместе с Михаилом Капрановым, вскоре иммигрировавшим в США. В 1990 году Капранов заполнил за Воеводского заявку на поступление в аспирантуру Гарвардского университета, и, несмотря на формальное отсутствие высшего образования, тот был принят^[9]. Квалификационный экзамен, на сдачу которого отводятся первые три года обучения в аспирантуре, сдал уже через месяц после поступления, благодаря чему был освобождён от занятий и смог сконцентрироваться на исследовательской работе^[6]. Находясь в аспирантуре постоянно нарушал регламенты: уезжал в Россию на 4 месяца, жил прямо в офисе, отказываясь снять жильё, при этом руководство факультета во всех случаях содействовало сохранению перспективного учёного в Гарварде. Докторскую диссертацию на тему «Гомологии схем и ковариантных мотивов» защитил в 1992 году под руководством Давида Каждана.

По окончании аспирантуры прошёл годичную постдокторантуру в принстонском Институте перспективных исследований, после чего вернулся в Гарвард и три года состоял в Обществе стипендиатов (англ. Society of fellows), в которое ежегодно набирают 8 выпускников аспирантур и предоставляют возможность сфокусироваться на исследованиях, не отвлекаясь на преподавание^[6].

В 1995 году женился на математике Надежде Шалаби (род. 1966), в браке, который завершился разводом в 2008 году, родились двое дочерей (Тали и Дина).

С 1996 по 1999 год работал в должности ассоциированного профессора в Северо-Западном университете, где сотрудничал с крупнейшими специалистами по алгебраической ${\displaystyle K}$-теории Андреем Суслиным и Эриком Фридландером^[англ.], также в течение этого периода был приглашённым профессором в Институте Макса Планка и в Гарварде. В 1998 году прочёл пленарный доклад «Теория ${\displaystyle \mathbf {A} ^{1}}$-гомотопий» на Международном конгрессе математиков в Берлине^[10].

В 1998 году приглашён на постоянную позицию в Институт перспективных исследований; в январе 2002 года, за несколько месяцев до награждения медалью Филдса, получил должность пожизненного профессора института. Во время работы в Принстоне обращался к математической биологии в части исторической генетики и к теории вероятностей, работая над переформулировкой её на языке теории категорий^[11], считая важным внести вклад в приложения, а в период 2005—2006 годов полностью выключился из академической деятельности. В 2006 году опубликовал первые заметки по возможностям применения геометрических понятий к теории типов^[12][13], и, после окончательного доказательства гипотезы Блоха — Като в 2010 году, полностью погрузился в новое направление, выдвинув программу унивалентных оснований. К программе постепенно подключился значительный коллектив специалистов по математической логике, теории категорий, системам автоматического доказательства. Академический год 2012/13 в Институте перспективных исследований по инициативе Воеводского был объявлен «годом унивалентных оснований», в рамках которого в сотрудничестве Воеводского, Ауди^[англ.] и Кокана была открыта специальная исследовательская программа, собравшая около 30 учёных, совместно написавших за этот период 600-страничную книгу^[14].

Умер у себя дома в Принстоне, обнаружен по обращению бывшей жены, которая некоторое время не могла с ним связаться и знала о тяжёлом заболевании; по её сообщениям, причиной смерти могла быть аневризма^[15]. Похоронен 27 декабря 2017 года на Химкинском кладбище в Москве^[16], участок 20.

В работах 1989—1990 годов по высшим группоидам, написанных в соавторстве с Капрановым, развил идею Гротендика о возможности описания CW-комплексов с гомотопической точки зрения как группоидов. В 1998 году Карлосом Симпсоном^[англ.] построен контрпример к одной из основных конструкций этих работ^[17], который Воеводский с Капрановым изначально не признали, и статья Симпсона не была принята в журналы; лишь в 2013 году Воеводский подтвердил доводы Симпсона.

В трудах периода гарвардской аспирантуры разработал конструкцию, в которой всякой схеме ${\displaystyle S}$ соответствуют триангулируемая категория^[англ.] ${\displaystyle DM(S)}$ и ковариантный функтор из категории схем над ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle DM(S)}$. Полученная конструкция обладает всеми свойствами теории гомологий, таким образом, выявлена новая возможность работать со схемами (и, в частности, с алгебраическими многообразиями) средствами алгебраической топологии.

Используя созданный в диссертации инструментарий подключился к решению ключевых проблем алгебраической ${\displaystyle K}$-теории и проработке деталей теории мотивных когомологий. В 1996—1998 годы совместно с Фабианом Морелем^[фр.] создал теорию ${\displaystyle A^{1}}$-гомотопий^[англ.], основная идея которой заменить в определении гомотопии единичный интервал ${\displaystyle [0,1]}$ (не являющийся алгебраическим многообразием) аффинной прямой ${\displaystyle A^{1}}$ для возможности полной алгебраизации теории гомотопий. Этим работам посвящён пленарный доклад на Международном конгрессе математиков в 1998 году.

Теории мотивных когомологий в 2000 году Математической предметной классификации присвоен отдельный код 14F42 в составе подраздела «Теории гомологий и когомологий» в разделе «Алгебраическая геометрия». В 2010 году к этому же коду присоединена также теория ${\displaystyle A^{1}}$-гомотопий под наименованием «теория мотивных гомотопий».

В 1996 году выпустил препринт с первым доказательством гипотезы Милнора, составлявшей основную проблему милноровой ${\displaystyle K}$-теории^[англ.], согласно которой существует изоморфизм между кольцами Милнора ${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/2}$ и ${\displaystyle H_{{\acute {e}}t}^{n}(F,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ — группами этальных когомологий^[англ.] с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ для всякого поля ${\displaystyle F}$ характеристики, отличной от 2, и любого целого ${\displaystyle n}$. В доказательстве, кроме собственных разработок и теории ${\displaystyle A^{1}}$-гомотопий, существенно использованы результаты Меркурьева, Суслина, Фридландера и Роста^[нем.]. Несмотря на всеобщее признание результата в конце 1990-х годов и получение Филдсовской премии за доказательство гипотезы, окончательный вариант, устраняющий все недочёты в доказательствах, был опубликован в 2003 году.

С конца 1990-х годов принялся за решение проблемы Блоха — Като, для которой гипотеза Милнора является частным случаем при ${\displaystyle \ell =2}$. Несмотря на то, что подход к доказательству Воеводский, по собственному утверждению, выработал уже в конце 1996 года, проработка результата потребовала значительной подготовительной работы, как по линии алгебраической ${\displaystyle K}$-теории, так и мотивной теории когомологий. Лишь к концу 2000-х годов Суслину, Жуховицкому и Вейбелю удалось доказать необходимое обобщение результата Роста^[18], а работу по развитию мотивной теории когомологий и соединение всех деталей доказательства Воеводский завершил в феврале 2010 года.

Ещё с середины 1990-х годов считал одной из угроз математики возможность накопления незамеченных ошибок из-за чрезвычайного усложнения современных направлений, и с 2002 года искал возможность применить системы автоматического доказательства к абстрактным разделам математики, но не находил удовлетворительных решений^[19]. В конце 2005 года обнаружил возможность описания высших группоидов^[англ.], средствами λ-исчисления с зависимыми типами, лежавшего в основе ряда систем автоматического доказательства, эксплуатирующих изоморфизм Карри — Ховарда об эквивалентности между компьютерными программами и математическими доказательствами^[20]. Идеи применения интуиционистской теории типов к теории категорий и топологии публиковались с середины 1990-х годов, но не к высшим группоидам, которые, согласно Воеводскому, ссылающемуся в свою очередь на соответствие Гротендика, являются фундаментальными математическими объектами, и соответствуют гомотопическим типам.

К 2006 году относятся первые эксперименты Воеводского с системой Coq. В 2009 году решил основные технические проблемы на пути применения интуиционистской теории типов к высшим группоидам, прежде всего, разработав конструкцию для иерархии универсумов и постулировав аксиому унивалентности, утверждающую равенство между объектами, между которыми может быть установлена эквивалентность:

${\displaystyle (A=B)\simeq (A\simeq B)}$.

Хотя в математике традиционно множество результатов устанавливается для классов эквивалентных объектов, «с точностью до…» — изоморфизма, гомеоморфизма, гомотопии, — считается, что введение аксиомы унивалентности на уровне оснований стало революционным новшеством^[21], кроме всего, обеспечивающим множество технических эффектов благодаря возможности избавиться в формализациях от громоздких конструкций с классами эквивалентностей. Ещё одной фундаментальной особенностью подхода Воеводского к основаниям считается объединение в рамках одной теории логических и математических понятий, где одни и те же конструкции могут быть наделены той или иной интерпретацией, в отличие от классического подхода, идущего от Гильберта и Тарского, где логика эпистемологически первична — вначале определяется логическая система, а потом её средствами строятся собственно математические теории^[22].

С 2010 года приступил к разработке «Библиотеки унивалентных оснований»^[23] — коллекции формальных описаний на Coq, позволяющих формулировать доказательства для абстрактных разделов математики, в течение трёх месяцев удалось построить систему с достаточно широким охватом^[19]. В 2010 году в рамках запроса на грант подготовил программу разработки унивалентных оснований^[24], в которой выделил следующие её возможности:

• естественная аксиоматизация категорных и высшекатегорных языков,
• применение языков зависимых типов,
• прямая аксиоматизация понятий на основе гомотопических типов, без использования инструментария теории множеств,
• применимость как для конструктивной так и неконструктивной математики.

В 2013 году, в рамках инициированного им совместно с Ауди^[англ.] и Коканом в Институте перспективных исследований года унивалентных оснований, стал соавтором книги «Гомотопическая теория типов», впоследствии высказывал неудовлетворённость результатами, отмечая, что участники программы предлагали много странных идей^[20]. В целом, несмотря на большое количество специалистов, подключившихся к программе создания унивалентных оснований, работал изолированно: развивал собственный проект библиотеки оснований^[23], использующий специально разработанное безопасное подмножество Coq, тогда как участники исследовательской программы Института перспективных исследований вели работы стандартными средствами^[25]. Кроме того, посвятил цикл из восьми работ 2014—2017 годов модельным вопросам и проблемам обоснования, разрабатывая теорию C-систем (контекстуальных категорий), притом что основная волна исследований направлена на расширение возможностей оснований и приложения^[19].

8 октября 2017 года в Институте перспективных исследований проведено собрание памяти учёного, на котором выступили близкие и коллеги учёного, в том числе Пьер Делинь, Ричард Тейлор, Давид Каждан^[26]. 28 декабря 2017 года, на следующий день после отпевания и похорон в Москве, в Математическом институте Академии наук имени Стеклова прошла однодневная конференция памяти Воеводского^[27].

По мнению сокурсника по Гарварду Михаила Вербицкого, Воеводский выведен в нескольких текстах писателя Баяна Ширянова и стал прототипом главного героя романа Николая Баранского «Путешествие в поисках истинной живости»^[28].

Книги

• Vladimir Voevodsky, Andrei Suslin, and Eric M. Friedlander. Cycles, transfers, and motivic homology theories. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 2000. — 254 с. — (Annals of Mathematics Studies, vol. 143). — ISBN 0-691-04815-0.
  • Обзорная рецензия — Charles A. Weibel. Cycles, transfers, and motivic homology theories, by Vladimir Voevodsky, Andrei Suslin, and Eric M. Friedlander // Bulletin Of The American Mathematical Society. — 2001. — Т. 39, № 1. — С. 137—143. Архивировано 18 октября 2020 года.
• Carlo Mazza, Vladimir Voevodsky, Charles Weibel. Lecture Notes on Motivic Cohomology. — Princeton, NJ: American Mathematical Society, 2006. — 218 с. — (Clay mathematics monographs, vol. 2). — ISBN 0-8218-3847-4.

Статьи

• В. А. Воеводский, М. М. Капранов. ∞-группоиды как модель для гомотопической категории // Успехи математических наук. — 1990. — Т. 45, № 5. — С. 239—240. — doi:10.1070/RM1990v045n05ABEH002673. Совместная с Капрановым работа по соответствию между CW-комплексами и высшими группоидами, к которому впоследствии Симпсон нашёл контрпример.
• Vladimir Voevodsky. Motivic cohomology with ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-coefficients // Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques. — 2003. — Т. 98, № 1. — С. 59–104. — doi:10.1007/s10240-003-0010-6. Заключительная работа с полным доказательством гипотезы Милнора.
• Vladimir Voevodsky. On motivic cohomology with ${\displaystyle \mathbb {Z} /\ell }$-coefficients // Annals of Mathematics. — 2011. — Т. 174. — С. 401–438. — doi:10.4007/annals.2011.174.1.11. Статья с доказательством гипотезы Блоха — Като
• Vladimir Voevodsky. An experimental library of formalized Mathematics based on the univalent foundations // Mathematical Structures in Computer Science. — Cambridge University Press, 2015. — Т. 25. — С. 1278–1294. — doi:10.1017/S0960129514000577. Публикация о библиотеке формализованной математики на базе унивалентных оснований
• Vladimir Voevodsky. The Origins and Motivations of Univalent Foundations. A Personal Mission to Develop Computer Proof Verification to Avoid Mathematical Mistakes (англ.). IDEAS, The Institute Letter, Summer 2014. Institute of Advanced Study (1 июля 2014). — «I think it was at this moment that I largely stopped doing what is called “curiosity-driven research” and started to think seriously about the future». Дата обращения: 29 декабря 2017. Архивировано 22 января 2018 года. Работа, в которой Воеводский перечисляет выявленные впоследствии труднообнаружимые ошибки в доказательствах, как в собственных трудах, так и в результатах коллег, которые послужили для него мотивацией в работе над унивалентными основаниями

• Профиль на сайте Института высших исследований (англ.). Institute of Advanced Study. Дата обращения: 26 декабря 2017. Архивировано 29 ноября 2017 года.
• Георгий Шабат, Ольга Орлова. Божественная искра. Памяти Владимира Воеводского  (неопр.). «Троицкий вариант — наука», № 249 c. 2–3 (13 марта 2018). Дата обращения: 14 марта 2018. Архивировано 15 марта 2018 года.
• А. А. Бейлинсон, А. С. Вишик, Д. А. Каждан, М. М. Капранов, А. С. Меркурьев, Д. О. Орлов, И. А. Панин, А. А. Суслин, Н. А. Тюрин, Г. Б. Шабат. Владимир Александрович Воеводский (некролог) // Успехи математических наук. — 2018. — Т. 73, вып. 3 (441). — С. 157–168. — doi:10.4213/rm9821.
• Charles Weibel^[англ.]. Vladimir Voevodsky (англ.) // Notices of the AMS. — 2019. — Vol. 66, no. 4. — P. 526—533. — doi:10.1090/noti1850.

Некоторые выступления

• Vladimir Voevodsky. An Intuitive Introduction to Motivic Homotopy Theory (англ.). Annual Conference of Clay Research Institute — 2002. Clay Research Institute (10 октября 2002). Дата обращения: 26 декабря 2017. Архивировано 1 марта 2020 года.
• Выступление на I гейдельбергском форуме лауреатов премий по математике и информатике (англ.). Heidelberg Laureate Forum (26 сентября 2013). Дата обращения: 26 декабря 2017. Архивировано 8 октября 2020 года.
• Основания математики: прошлое, настоящее и будущее. Часть 1: к истории концепции (англ.). Бернайсовская лекция. ETH Zürich (10 сентября 2014). Дата обращения: 31 декабря 2017. Архивировано 10 марта 2016 года. Часть 2: история теории множеств  (неопр.). Дата обращения: 31 декабря 2017. Архивировано 8 марта 2016 года. Часть 3: унивалентные основания  (неопр.). Дата обращения: 31 декабря 2017.
• How I became interested in foundations of mathematics (англ.). 9th Asian Science Camp — 2015. NSTDA Channel, Thailand (5 августа 2015). Дата обращения: 26 декабря 2017. Архивировано 3 января 2020 года.

Интервью

• Елена Новосёлова. Наш ответ Нобелю. Россиянина Владимира Воеводского отчислили с мехмата, а спустя 15 лет он стал лучшим математиком планеты  (неопр.). Российская газета (19 октября 2002). Дата обращения: 26 декабря 2017. Архивировано 2 июня 2017 года.
• Ольга Орлова. По большому филдсовскому счёту  (неопр.). polit.ru (22 августа 2006). Дата обращения: 26 декабря 2017. Архивировано 13 декабря 2017 года.
• Светлана Беляева. Веские основания. Новейшие математические теории наш соотечественник разрабатывает в Америке  (неопр.). Поиск (13 мая 2011). Дата обращения: 26 декабря 2017. Архивировано 18 января 2021 года.
• Роман Михайлов. Интервью Владимира Воеводского, часть 1  (неопр.) (1 июля 2012). Дата обращения: 26 декабря 2017. Архивировано 22 августа 2017 года. Часть 2  (неопр.) (5 июля 2012). Дата обращения: 26 декабря 2017. Архивировано 12 декабря 2017 года.
• Gaël Octavia. La bifurcation de Vladimir Voevodsky. De la théorie de l’homotopie à la théorie des types (фр.). SMF – Gazette – 142, octobre 2014. Société Mathématique de France (1 октября 2014). Дата обращения: 1 января 2018. Архивировано 16 мая 2018 года.
• Ольга Баклицкая-Каменева. Владимир Воеводский: Математика как метод стабилизации разума  (неопр.). Элементы (8 ноября 2017). Дата обращения: 26 декабря 2017. Архивировано 27 декабря 2017 года.
• Светлана Беляева. Виден выход из норы. Труд математиков можно облегчить  (неопр.). Поиск (18 сентября 2015). Дата обращения: 24 декабря 2017. Архивировано из оригинала 26 декабря 2017 года.