Возвратное уравнение — алгебраическое уравнение от одной переменной вида



для нечётной степени
и



для чётной степени
, где
. Возвратным многочленом называется многочлен, приравнивающийся к нулю в возвратном уравнении[1].
Альтернативный способ определения
Многочлен
нечётной степени
называется возвратным, если для некоторого
равенство
верно при любом
.
Многочлен
чётной степени
называется возвратным, если для некоторого
равенство
верно при любом
.
Частные случаи
- В случае, если
, то есть последовательность коэффициентов возвратного многочлена симметрична (является палиндромом), уравнение называется симметрическим или симметричным. Если речь идёт о многочлене, участвующем в уравнении, он называется симметричным (не путать с симметрическим многочленом)[1].
Понижение степени и нахождение корней
Любой возвратный многочлен
нечётной степени
имеет корень
и представляется в виде произведения линейного многочлена
и многочлена
, имеющего чётную степень
и являющегося возвратным.
Рассмотрим теперь возвратный многочлен
чётной степени
. По определению возвратного многочлена
, следовательно, ноль не является его корнем и его можно переписать в виде
, где сумму
можно переписать в виде многочлена относительно
степени
.
Докажем при помощи полной индукции по
, что любую симметричную относительно замены
сумму
можно переписать в виде многочлена относительно
. База:
. Переход: предположим, данное утверждение верно для всех степеней, меньших данного
. Выражение
симметрично относительно замены
, причём разность его с
имеет максимальную степень переменной
и также симметрична относительно указанной замены, а значит, по предположению индукции представима в виде многочлена относительно
степени
. Тогда выражение
является разностью выражений
и
, каждое из которых представляется в виде многочлена относительно
степени не больше
, следовательно, и само выражение
также представляется в виде такого многочлена. Тогда
, где первая часть представляется в виде многочлена относительно
степени не больше
по доказанному выше, а вторая — по предположению индукции, следовательно, изначальное выражение также представляется в виде многочлена относительно
степени не больше
.
Найдя все корни
полученного уравнения и решив все уравнения вида
относительно
, получаем корни изначального возвратного уравнения
.
Как было показано выше, возвратные уравнения степеней
и
сводятся к решению уравнений степени
, которые разрешимы в радикалах вплоть до
по теореме Абеля-Руффини. При этом выражение
, позволяющее получить корни возвратного уравнения (кроме
для нечётной степени) через корни полученного выше уравнения степени
относительно
, является алгебраическим. Следовательно, возвратные уравнения, сводящиеся к уравнениям относительно
степени не более
, разрешимы в радикалах, а к таким возвратным уравнениям относятся те, чья степень не превышает
.
Примечания
Ссылки