Волновое число

Волновое число
${\displaystyle \ k}$
Размерность	L−1
Единицы измерения
СИ	м−1
СГС	см−1
Примечания
скаляр

Волново́е число́ — быстрота роста фазы волны ${\displaystyle \varphi }$ по координате в пространстве^[1]:

${\displaystyle k={\frac {d\varphi }{dx}}}$.

Может вычисляться как отношение ${\displaystyle 2\pi }$ радиан к длине волны:

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$.

Обозначение «${\displaystyle k}$» является наиболее стандартным^[2]. Измеряется в рад·м⁻¹, физическая размерность м⁻¹ (в системе СГС: см⁻¹).

Волновое число используется в физике, математике^[3] (преобразование Фурье) и таких приложениях как обработка изображений. Выступает пространственным аналогом угловой частоты^[4] ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$ (${\displaystyle T}$ — период).

В одномерном случае волновому числу обычно приписывают знак плюс (минус), если волна распространяется в положительном (отрицательном) направлении оси ${\displaystyle x}$. В многомерном случае ${\displaystyle k}$ — это обычно синоним абсолютной величины волнового вектора или его компонент (несколько волновых чисел по количеству осей координат), также может быть проекцией волнового вектора на некоторое определённое выбранное направление.

В большинстве случаев волновое число имеет смысл только применительно к монохроматической волне (строго монохроматической или, по крайней мере, почти монохроматической), поэтому производную в определении можно (для этих самых распространённых случаев) заменить выражением с конечными разностями:

${\displaystyle k={\frac {\Delta \varphi }{\Delta x}}}$.

Исходя из этого, можно получить разные практически удобные формулировки понятия:

• волновое число есть разность фазы волны (в радианах) в один и тот же момент времени в пространственных точках на расстоянии единицы длины (одного метра);
• волновое число есть количество пространственных периодов (горбов) волны, приходящееся на ${\displaystyle 2\pi }$ метров;
• волновое число равно числу радиан волны на отрезке в 1 метр.

Смежной с волновым числом величиной является так называемая пространственная частота — количество периодов колебаний в пространстве на единицу длины (равное ${\displaystyle 1/\lambda }$)^[5][6]. В спектроскопии пространственную частоту саму нередко именуют волновым числом и измеряют в см⁻¹. Такое определение отличается от обычного отсутствием множителя ${\displaystyle 2\pi }$.

Имеет место цепочка равенств:

${\displaystyle k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_{\varphi }}}={\frac {\omega }{v_{\varphi }}}}$,

где ${\displaystyle \lambda }$ — длина волны, ${\displaystyle \nu }$ (греческая буква «ню») — частота, ${\displaystyle v_{\varphi }}$ — фазовая скорость волны, ${\displaystyle \omega }$ — угловая частота.

Для фазы монохроматической бегущей волны можно записать:

${\displaystyle \varphi =kx-\omega t}$,

а для самой волны:

${\displaystyle u(x,t)={\rm {const}}\cdot \mathrm {cos} (kx-\omega t+\varphi _{0})}$

или в комплексном виде:

${\displaystyle u(x,t)={\rm {const}}\cdot e^{i(kx-\omega t)}}$,

здесь ${\displaystyle \varphi _{0}}$ может быть спрятано в ${\displaystyle {\rm {const}}}$,

Для монохроматической стоячей волны:

${\displaystyle u(x,t)={\rm {const}}\cdot \mathrm {cos} (k\cdot (x-x_{0}))\mathrm {cos} (\omega \cdot (t-t_{0}))}$.

Волновое число точно определено для монохроматической волны. К волнам другого вида волновое число относится через понятие спектра (а конкретнее, через преобразования Фурье), то есть немонохроматическая волна, вообще говоря, содержит в разных пропорциях монохроматические компоненты с разными волновыми числами; впрочем, почти монохроматические волны могут приближённо быть описаны как волны с определённым волновым числом (их спектр в основном сосредоточен вблизи одного значения волнового числа).

Иногда, например, в квазигеометрическом (квазиклассическом) приближении, можно рассматривать волновое число (волновой вектор) как медленно меняющийся в пространстве, то есть волну не как монохроматическую, а как квазимонохроматическую. В этом случае, естественно, лучше использовать определение волнового числа (волнового вектора) с производной, а не с конечными разностями.

В сущности, единственный физически осмысленный случай, когда волновое число (волновой вектор) может меняться с ${\displaystyle x}$, даже относительно быстро, — это случай формализма интеграла по траекториям. В этом случае в теории для описания волны присутствуют волны весьма специального вида:

${\displaystyle u(x,t)=e^{i\int (kdx-\omega dt)}}$.

для которых упомянутое вполне корректно и осмысленно.

В квантовой физике волновое число связывается с компонентой импульса по данному направлению:

${\displaystyle p_{x}=\hbar k_{x}}$,

где ${\displaystyle p_{x}}$ — компонента импульса по направлению ${\displaystyle x}$ (для одномерной системы — полный импульс), ${\displaystyle k_{x}}$ — волновое число (компонента волнового вектора) по направлению ${\displaystyle x}$ (для одномерной системы — просто волновое число), ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).

Таким образом, в квантовой физике понятия компоненты импульса и волнового числа по сути совпадают. То же относится к полному импульсу и волновому числу без указания направления волнового вектора:

${\displaystyle p=\hbar k}$.

(Более того, поскольку постоянная Планка — универсальная константа, можно выбором системы единиц просто сделать её равной 1. Тогда вообще ${\displaystyle p_{x}=k_{x}}$ м ${\displaystyle p=k}$.) Это можно считать одним из фундаментальных принципов квантовой механики.

В важном частном случае, для света в вакууме (и, в принципе, любых других безмассовых полей; приближённо — для ультрарелятивистских частиц), можно написать

${\displaystyle k={\frac {W}{\hbar c}}}$,

где ${\displaystyle W}$ — энергия, ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме.

Уравнения плоской электромагнитной волны записываются как

${\displaystyle \Delta \mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}},\qquad \Delta \mathbf {H} ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2}}}$.

Они же в координатной форме:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}},\qquad {\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}H_{z} \over \partial t^{2}}}$.

Решение этих уравнений имеет вид:

${\displaystyle E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx),\qquad H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)}$.

Подстановка выражения для ${\displaystyle E_{y}}$ в уравнение приводит к соотношению

${\displaystyle E_{m}k^{2}\cos(\omega t-kx)={\frac {1}{c^{2}}}E_{m}\omega ^{2}\cos(\omega t-kx)}$,

откуда очевидна связь^[7]

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}}$.

• Волновой вектор