Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.
Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон[англ.]. Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника. Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного внутреннего угла[англ.] и биссектрис двух других внешних углов[англ.]. Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе смежного внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют ортоцентричную систему[англ.][1].
Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными.
Связь с площадью треугольника
Радиусы вписанных и вневписанных окружностей имеют тесную связь с площадью треугольника[2].
Вписанная окружность
Пусть имеет вписанную окружность радиуса r с центром I. Пусть a — длина BC, b — длина AC, а c — длина AB. Пусть вписанная окружность касается AB в некоторой точке C′, тогда является прямым. Тогда радиус C’I будет высотой треугольника . Таким образом, имеет основание длины c и высоту r, а следовательно, его площадь равна . Подобным же образом имеет площадь и имеет площадь . Поскольку эти три треугольника разбивают , получаем, что
где — площадь , а — его полупериметр.
Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим . Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен r, а другой равен . То же самое верно для . Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:
Вневписанные окружности
Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB, касается продолжения стороны AC в точке G, и пусть радиус этой окружности равен , а её центр — . Тогда является высотой треугольника , так что имеет площадь . По тем же причинам имеет площадь , а имеет площадь . Тогда
- .
Таким образом, ввиду симметрии,
- .
По теореме косинусов получаем
Комбинируя это с тождеством , получим
Но , так что
и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.
Комбинируя формулу Герона с , получим
- .
Аналогично, даёт
- .
Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к:[3]
Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно , и равенство достигается только на правильных треугольниках[4].
Связанные построения
Окружность девяти точек и точка Фейербаха
- Теорема Эйлера об окружности Эйлера. Середины отрезков высот от ортоцентра до вершин треугольника называются точками Эйлера. Основания медиан, основания высот и точки Эйлера лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек[5].
- Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности в четырёх разных точках. Одна из них - точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.
Треугольник и точка Жергонна
Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим TA, и т. д.. Точка TA лежит напротив вершины A.
Этот треугольник Жергонна TATBTC известен также как треугольник касаний треугольника ABC.
Три прямые ATA, BTB и CTC пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7). Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга[англ.] с выколотым центром[6].
Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова[7].
Трилинейные координаты вершин треугольника касаний задаются формулами
- вершина
- вершина
- вершина
Трилинейные координаты точки Жергонна
- ,
или, эквивалентно, по теореме синусов,
- .
Точка Жергонна является изотомическим сопряжением точки Нагеля.
Треугольник и точка Нагеля
Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами TA, TB и TC, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка XA противоположна стороне A, и т. д. Описанная вокруг треугольника TATBTC окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Три прямые ATA, BTB и CTC делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8).
Трилинейные координаты точек касания треугольника вневписанными окружностями задаются формулами
- вершина
- вершина
- вершина
Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулами
- ,
или, эквивалентно, по теореме синусов,
- .
Точка Нагеля является изотомическим сопряжением точки Жергонна.
Трилинейные координаты вписанных треугольников
Трилинейные координаты вершин треугольника, образованного основаниями биссектрис, задаются формулами
- вершина
- вершина
- вершина
Трилинейные координаты треугольника, образованного точками касания сторон внеописанными окружностями, задаются формулами
- вершина
- вершина
- вершина
Уравнения окружностей
Пусть x : y : z — координаты точки в трилинейных координатах, и пусть u = cos2(A/2), v = cos2(B/2), w = cos2(C/2). Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов[8]:
- Вписанная окружность:
- A-внешневписанная:
- B-внешневписанная:
- C-внешневписанная:
Другие свойства вписанной окружности
Некоторые формулы с радиусом вписанной окружности
- , — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).
- Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника[9].
- Неравенство Эйлера: радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника[10].
- Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y, y и z, z и x. Тогда вписанная окружность имеет радиус[11]
и площадь треугольника равна
- Если высоты, опущенные на стороны a, b и c есть ha, hb и hc, то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть
- Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a, b и c равно[1]
- Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей[12]:
- Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна[13].
- Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[14].
Формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей
Теорема Эйлера
Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике[10]:
где R и rin являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, а d — расстояние между центрами этих окружностей.
Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:
где rex — радиус одной из вневписанных окружностей, а d — расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей[15][16][17]
- Возводя в квадрат и приводя подобные из первой формулы Эйлера выше имеем:
Квадрат расстояния от центра вписанной окружности I до центра описанной O задаётся уравнением[18]
Аналогично для второй формулы:
Другие формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей
- Расстояние от центра вписанной окружности до центра N окружности девяти точек равно[18]
- Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороны[19]. Так, для вершины B и прилежащих точек касания TA и TC,
- Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I, мы получим[20]
и[21]
- Если обозначить за I центр вписанной окружности треугольника ABC, AD — биссектриса угла A, то
- Центр вписанной окружности лежит в треугольнике, вершины которого являются серединами сторон треугольника[18].
- Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда .
- Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности[10].
- Теорема Харкорта. Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда
- .
Другие свойства вневписанных окружностей
- Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей ra, rb, rc[12]:
- Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2R[12].
- Вершины A, B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника JAJB,JC,
где JAJB,JC — центры вневписанных окружностей[10].
- Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[14].
- Центр Шпикера треугольника является радикальным центром его вневписанных окружностей[22]. Если из центра Шпикера треугольника провести 6 касательных к 3 вневписанным окружностям треугольника, то все их длины будут равны между собой.
Окружность Аполлония
Определение окружности Аполлония
Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно EA, EB, EC (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно EA, EB и EC (см. рисунок)[23].
Радиус окружности Аполлония
Радиус окружности Аполлония равен , где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника[24].
Определение точки Аполлония Ap
- Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника у Кларка Кимберлинга (Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)) именуется как центр треугольника под именем X(181).
- Точка Аполлония Ap или X(181) определяется следующим образом:
Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.
Изогональное сопряжение
Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника[25].
Ортоцентр треугольника изогонально сопряжён центру описанной окружности этого треугольника[25].
Обобщение на другие многоугольники
- Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
- Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вневписанную окружность. Они называются внеописанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важное свойство отмечает теорема Уркхарта. Она утверждает:
- Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то
См. также
- Вневписанная окружность
- Внеописанный четырёхугольник
- Вписанная окружность
- Вписанные и описанные фигуры для треугольника
- Вписанное коническое сечение[англ.]
- Вписанная сфера
- Высота треугольника
- Замечательные точки треугольника
- Инцентр или Центр вписанной окружности
- Окружность
- Описанная окружность
- Описанный четырёхугольник
- Ортоцентр
- Степень точки относительно окружности
- Теорема Мансиона
- Теорема о трезубце
- Теорема Тебо 2 и 3
- Теорема Харкорта
- Точки Аполлония
- Степень точки относительно окружности
- Центр Шпикера
- Центроид
- Центроид треугольника
- Эллипс Мандарта
- Эллипс Штейнера
Примечания
- ↑ 1 2 Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover, 2007 (оригинал — 1929).. — С. 189, #298(d).
- ↑ H.S.M. Coxeter. Introduction to Geometry. — 2. — Wiley, 1961..
- ↑ Marcus Baker. A collection of formulae for the area of a plane triangle. — January 1885. — Т. part 1, vol. 1(6). — С. 134-138.. См. также часть 2 в томе. 2(1), Сентябрь 1885, 11-18.)
- ↑ D. Minda, S. Phelps. Triangles, ellipses, and cubic polynomials // American Mathematical Monthly. — October 2008. — Вып. 115. — С. 679-689: Theorem 4.1..
- ↑ С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника. — Москва: УЧПЕДГИЗ, 1962. — С. 52-53 Глава III.
- ↑ Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. The locations of triangle centers // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 57-70..
- ↑ Deko Dekov. Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. — 2009. — Т. 1. — С. 1–14.. Архивировано 5 ноября 2010 года.
- ↑ William Allen Whitworth. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. — 2012. — С. 210-215. — (Forgotten Books). Архивировано 24 марта 2016 года.
- ↑ Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Secrets of Triangles. — Prometheus Books, 2012. — С. 289.
- ↑ 1 2 3 4 А. Д. Куланин, С. Н. Федин. Геометрия треугольника в задачах. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — ISBN 978-5-397-00786-3.
- ↑ Thomas Chu. The Pentagon. — Spring, 2005. — С. 45, задача 584..
- ↑ 1 2 3 4 Amy Bell. Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 335–342.
- ↑ Dimitrios Kodokostas. Triangle Equalizers // Mathematics Magazine. — 2010. — Вып. 83, April. — С. 141-146..
- ↑ 1 2 Мякишев, 2002, с. 11, п. 5.
- ↑ Roger Nelson. Euler's triangle inequality via proof without words // Mathematics Magazine. — February 2008. — Вып. 81(1). — С. 58-61.
- ↑ R. A. Johnson. Modern Geometry. — Boston: Houghton Mifflin, 1929. — С. 187.
- ↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Euler’s formula and Poncelet’s porism // Forum Geometricorum. — 2001. — Вып. 1. — С. 137–140..
- ↑ 1 2 3 William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Т. 11. — С. 231–236..
- ↑ Mathematical Gazette, July 2003, 323—324.
- ↑ Patricia R. Allaire, Junmin Zhou, Haishen Yao. Proving a nineteenth century ellipse identity // Mathematical Gazette. — 2012. — Вып. 96, March. — С. 161-165..
- ↑ Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 1980. — С. 121,#84.
- ↑ Odenhal, 2010, с. 35—40.
- ↑ Darij Grinberg, Paul Yiu. The Apollonius Circle as a Tucker Circle // Forum Geometricorum. — 2002. — Вып. 2. — С. 175-182.
- ↑ Milorad R. Stevanovi´c. The Apollonius circle and related triangle centers // Forum Geometricorum. — 2003. — Вып. 3. — С. 187-195..
- ↑ 1 2 В. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНПО, 2000. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-49-9.
Литература
- Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
- Clark Kimberling. Triangle Centers and Central Triangles // Congressus Numerantium. — 1998. — Вып. 129. — С. i-xxv, 1-295.
- Sándor Kiss. The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles // Congressus Numerantium. — 2006. — Вып. 6. — С. 171—177.
- Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.
Ссылки
- Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
- Weisstein, Eric W. Incircle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Сайты с интерактивным содержанием
- Triangle incenter Triangle incircle Incircle of a regular polygon With interactive animations
- Constructing a triangle’s incenter / incircle with compass and straightedge An interactive animated demonstration
- Equal Incircles Theorem at cut-the-knot
- Five Incircles Theorem at cut-the-knot
- Pairs of Incircles in a Quadrilateral at cut-the-knot
- An interactive Java applet for the incenter