Вполне регулярное пространство

Вполне регулярное пространство или тихоновское пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам отделимости T₁ и T_3½, то есть такое топологическое пространство, в котором все одноточечные множества замкнуты и для любого замкнутого множества и точки вне его существует непрерывная числовая функция, равная единице на множестве и нулю в точке (А. Н. Тихонов, 1930).

Свойства

Каждое тихоновское пространство регулярно.
Подпространство тихоновского пространства — тихоновское.
Произведение любого количества тихоновских пространств — тихоновское.
Топологическое пространство является тихоновским тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно подпространству тихоновского куба некоторого веса $m$ .
Топологическое пространство является тихоновским тогда и только тогда, когда оно имеет хаусдорфову компактификацию.
Топология на пространстве $X$ тихоновская тогда и только тогда, когда она порождается некоторой отделимой равномерностью.
Каждое топологическое векторное пространство вполне регулярно.

Примеры

Тихоновскими пространствами являются:

Нормальные пространства, в частности метрические пространства
Локально компактные хаусдорфовы пространства
Топологические группы, удовлетворяющие аксиоме отделимости T₀, в частности топологические векторные пространства
Пространства ординалов с порядковой топологией
Плоскость Немыцкого — пример тихоновского пространства, не являющегося нормальным

Литература

Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
Богачев В.И., Смолянов О.Г. , Соболев В.И. Топологические векторные пространства и их приложения.

Похожие исследовательские статьи

Топологи́ческое простра́нство — множество, для элементов которого определено, какие из них близки друг к другу. Является центральным понятием общей топологии.

Непреры́вное отображе́ние — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T₂.

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

Локально компактное пространство — топологическое пространство, у каждой точки которого существует открытая окрестность, замыкание которой компактно. Иногда используется более слабое определение: достаточно чтобы каждая точка имела компактную окрестность. В случае хаусдорфова пространства эти определения эквивалентны.

Метризуемое пространство — топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.

Связное пространство — топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие линейной связности.

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

Тополо́гия Зари́сского, или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.

Аксиомы отделимости — наборы дополнительных требований, налагаемых на топологические пространства, позволяющие изучать ограниченные классы топологических пространств со свойствами в той или иной степени близкими к метрическим пространствам. На предположении выполнения аксиом отделимости основано применение такой техники математического доказательства, как принцип разделимости.

Паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Компактификация — операция, которая преобразует топологические пространства в компактные.

Норма́льное простра́нство — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам отделимости T₁, T₄, то есть такое топологическое пространство, в котором одноточечные множества замкнуты и любые два непересекающихся замкнутых множества отделимы окрестностями (то есть содержатся в непересекающихся открытых множествах).

Ретракт топологического пространства $\text{[math]}$ — подпространство $\text{[math]}$ этого пространства, для которого существует ретракция $\text{[math]}$ на $\text{[math]}$ ; то есть непрерывное отображение $\text{[math]}$ , тождественное на $\text{[math]}$ .

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности для заданного отношения эквивалентности $\text{[math]}$ на множестве $\text{[math]}$ , обозначается $\text{[math]}$ . Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.

Тривиа́льная тополо́гия в общей топологии — это топология, состоящая лишь из всего пространства и пустого множества. Логичнее, однако, называть эту топологию антидискретной, поскольку и дискретная, и антидискретная топологии — обе довольно тривиальные в общеязыковом смысле этого слова.

Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.

В топологии и связанных разделах математики вполне несвязное пространство — это топологическое пространство, которое не имеет нетривиальных связных подмножеств. В любом топологическом пространстве пустое множество и одноточечные множества — связные. Во вполне несвязном пространстве это единственные связные подмножества.

k-пространство — топологическое пространство, в котором замкнуты все множества, пересечение которых с каждым компактным подмножеством этого пространства замкнуто. Часто к этому добавляют требование хаусдорфовости пространства.

Плоскость Тихонова — пример нормального, но не вполне нормального пространства. Строится как произведение пространств ординалов $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — первый счётный ординал, $\text{[math]}$ — первый несчетный ординал.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.