Временное среднее

Временно́е среднее функции по траектории динамической системы — это предел чезаровских средних значений функции в точках траектории.

Рассмотрим динамическую систему c дискретным временем, заданную итерациями отображения ${\displaystyle f\colon X\to X}$. Пусть на фазовом пространстве ${\displaystyle X}$ задана функция ${\displaystyle \varphi \colon X\to \mathbb {R} }$. Частичным временны́м средним функции ${\displaystyle \varphi }$ по орбите точки ${\displaystyle x}$ за ${\displaystyle n}$ шагов называется чезаровское среднее значений функции в точках орбиты:

${\displaystyle {\bar {\varphi }}^{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\varphi \circ f^{k}(x)}$.

Временны́м средним называется предел частичных временных средних при ${\displaystyle n\to \infty }$:

${\displaystyle {\bar {\varphi }}(x)=\lim _{n\to \infty }{\bar {\varphi }}^{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}\varphi \circ f^{k}(x)}$

Для системы с непрерывным временем временное среднее определяется следующим образом. Пусть преобразование фазового потока задаётся функцией ${\displaystyle f(\cdot ;t)\colon X\to X}$. Тогда временное среднее определяется как предел следующего вида:

${\displaystyle {\bar {\varphi }}(x)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\varphi \circ f(x;t)\,dt}$

Одним из важных результатов эргодической теории является равенство временных и пространственных средних (т.е. интеграла по пространству) непрерывных функций для почти всех траекторий эргодических систем.

Пример Боуэна даёт пример системы, в которой типичная непрерывная функция не имеет временных средних для почти всех начальных условий.

• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[нем.]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.