Вселенная Фридмана

Вселе́нная Фри́дмана (метрика Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера) — одна из космологических моделей, удовлетворяющих полевым уравнениям общей теории относительности (ОТО), первая из нестационарных моделей Вселенной. Получена Александром Фридманом в 1922. Модель Фридмана описывает однородную изотропную в общем случае нестационарную Вселенную с веществом, обладающую положительной, нулевой или отрицательной постоянной кривизной. Эта работа учёного стала первым основным теоретическим развитием ОТО после работ Эйнштейна 1915—1917 гг.

Решение Фридмана было опубликовано в авторитетном физическом журнале Zeitschrift für Physik в 1922^[1] и 1924 (для Вселенной с отрицательной кривизной)^[2]. Решение Фридмана было вначале отрицательно воспринято Эйнштейном (который предполагал стационарность Вселенной и даже ввёл с целью обеспечения стационарности в полевые уравнения ОТО так называемый лямбда-член), однако затем он признал правоту Фридмана. Тем не менее, работы Фридмана (умершего в 1925) остались вначале незамеченными.

Нестационарность Вселенной была подтверждена открытием зависимости красного смещения галактик от расстояния (Эдвин Хаббл, 1929). Независимо от Фридмана, описываемую модель позднее разрабатывали Леметр (1927), Робертсон и Уокер (1935), поэтому решение полевых уравнений Эйнштейна, описывающее однородную изотропную Вселенную с постоянной кривизной, называют моделью Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера.

Эйнштейн не раз подтверждал, что начало теории расширяющейся Вселенной положил А. А. Фридман.

В творчестве А. А. Фридмана работы по теории относительности могли бы на первый взгляд показаться довольно внезапными. Ранее в основном он работал в области теоретической гидромеханики и динамической метеорологии.

Усвоение Фридманом ОТО было весьма интенсивным и в высшей степени плодотворным. Совместно с Фредериксом он взялся за капитальный труд «Основы теории относительности», в которой предполагалось изложить «достаточно строго с логической точки зрения» основы тензорного исчисления, многомерной геометрии, электродинамики, специального и общего принципа относительности.

Книга Фредерикса и Фридмана «Основы теории относительности» — это обстоятельное, подробное изложение теории относительности, основанное на весьма солидном математическом фундаменте геометрии общей линейной связности на многообразии произвольной размерности и теории групп. Исходной для авторов оказывается геометрия пространства-времени.

В 1923 г. была опубликована популярная книга Фридмана «Мир как пространство и время», посвящённая ОТО и ориентированная на довольно подготовленного читателя. В 1924 г. появилась статья Фридмана, рассматривавшая некоторые вырожденные случаи общей линейной связности, которые, в частности, обобщают перенос Вейля и, как считали авторы, «может быть, найдут применение в физике».

И, наконец, главным результатом работы Фридмана в области ОТО стала космологическая нестационарная модель, носящая теперь его имя.

По свидетельству В. А. Фока, в отношении Фридмана к теории относительности преобладал подход математика: «Фридман не раз говорил, что его дело — указать возможные решения уравнений Эйнштейна, а там пусть физики делают с этими решениями, что они хотят»^[3].

Изначально, уравнения Фридмана использовали уравнения ОТО с нулевой космологической постоянной. И модели, основанные на них, безоговорочно доминировали (помимо короткого всплеска интереса к другим моделям в 1960-е гг.) вплоть до 1998 года^[4]. В тот год вышли две работы, использовавшие в качестве индикаторов расстояния сверхновые типа Ia. В них было убедительно показано, что на больших расстояниях закон Хаббла нарушается и Вселенная расширяется ускоренно, что требует наличия тёмной энергии, известные свойства которой соответствуют Λ-члену.

Современная модель, так называемая «модель ΛCDM», по-прежнему является моделью Фридмана, но уже с учётом как космологической постоянной, так и тёмной материи.

Вид символов Кристоффеля
${\displaystyle \Gamma _{ij}^{0}=a{\dot {a}}{\tilde {g}}_{ij},\quad \Gamma _{0j}^{i}={\frac {\dot {a}}{a}}\delta _{ij},\quad \Gamma _{jl}^{i}={\tilde {\Gamma }}_{jl}^{i}=k{\tilde {g}}_{jl}x^{i}}$
Производные выражения от символов Кристоффеля
${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Gamma _{ij}^{0}}{\partial t}}&={\tilde {g}}_{ij}{\frac {d}{dt}}({\dot {a}}a),&\Gamma _{ik}^{0}\Gamma _{j0}^{k}&={\tilde {g}}_{ij}{\dot {a}}^{2},&\Gamma _{ij}^{0}\Gamma _{0l}^{l}&=3{\tilde {g}}_{ij}{\dot {a}}^{2},\\{\frac {\partial \Gamma _{i0}^{i}}{\partial t}}&=3{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right),&\Gamma _{0j}^{i}\Gamma _{i0}^{j}&=3\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

Геометрия однородной изотропной Вселенной — это геометрия однородного и изотропного трёхмерного многообразия. Метрикой таких многообразий является метрика Фридмана — Робертсона — Уокера (FWT)^[5]:

${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}-a^{2}(t)\,d\chi ^{2},}$

где χ — так называемое сопутствующие расстояние или конформное, не зависящее от времени, в отличие от масштабного фактора a, t — время в единицах скорости света, s — интервал.

${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}-a^{2}(t)\left(dx^{2}+k{\frac {(xdx)^{2}}{1-kx^{2}}}\right),}$

где k принимает значение:

k = 0 для трёхмерной плоскости,

k = 1 для трёхмерной сферы,

k = −1 для трёхмерной гиперсферы,

${\displaystyle x=\{x_{1},x_{2},x_{3}\}}$ — трёхмерный радиус-вектор в квазидекартовых координатах.

Или в тензорной записи:

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu },}$

где компоненты метрического тензора равны:

${\displaystyle g_{ij}=a^{2}(t)\left(\delta _{ij}+k{\frac {x^{i}x^{j}}{1-kr^{2}}}\right),\quad g_{i0}=0,\quad g_{00}=-1,}$

где ${\displaystyle i,j}$ пробегают значения 1…3, ${\displaystyle r^{2}=(x^{1})^{2}+(x^{2})^{2}+(x^{3})^{2}}$, а ${\displaystyle x^{0}}$ — временна́я координата.

Если же выражение для метрики подставить в уравнения ОТО для идеальной жидкости, то получим следующую систему уравнений:

где Λ — космологическая постоянная, ρ — средняя плотность Вселенной, P, p — давление, выраженная в Си и естественной системы единиц соответственно, с — скорость света.

Приведённая система уравнений допускает множество решений, в зависимости от выбранных параметров. На самом деле значение параметров фиксированы только на текущий момент и с течением времени эволюционируют, поэтому эволюцию расширения описывает совокупность решений^[5].

Допустим есть источник, расположенный в сопутствующей системе на расстоянии r₁ от наблюдателя. Приёмная аппаратура наблюдателя регистрирует фазу приходящей волны. Рассмотрим два интервала времени δt₁ и δt₂ между точками с одной и той же фазой^[5]:

${\displaystyle {\frac {\delta t_{1}}{\delta t_{0}}}={\frac {\nu _{0}}{\nu _{1}}}\equiv 1+z}$

С другой стороны для световой волны в принятой метрике выполняется равенство:

${\displaystyle dt=\pm a(t){\frac {dr}{\sqrt {1-kr^{2}}}}}$

Проинтегрировав это уравнение получим:

${\displaystyle \int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {dt}{a(t)}}=\int \limits _{0}^{r_{c}}{\frac {dr}{\sqrt {1-kr^{2}}}}}$

Учитывая что в сопутствующих координатах r не зависит от времени, и малость длины волны относительно радиуса кривизны Вселенной, получим соотношение:

${\displaystyle {\frac {\delta t_{1}}{a(t_{1})}}={\frac {\delta t_{0}}{a(t_{0})}}}$

Если теперь его подставить в первоначальное соотношение:

${\displaystyle 1+z={\frac {a(t_{0})}{a(t_{1})}}}$

Разложим a(t) в ряд Тейлора с центром в точке a(t₁) и учтём члены только первого порядка:

${\displaystyle a(t)=a(t_{1})+{\dot {a}}(t_{1})(t-t_{1})}$

После приведения членов и домножения на c:

${\displaystyle cz={\frac {{\dot {a}}(t_{1})}{a(t_{1})}}c(t-t_{1})=HD}$

Соответственно, константа Хаббла:

${\displaystyle H={\frac {{\dot {a}}(t_{1})}{a(t_{1})}}}$

Подставив в уравнение энергии, записанного для текущего момента, выражение для постоянной Хаббла(H₀), приведём его к виду:

${\displaystyle 1=\Omega _{m}+\Omega _{k}+\Omega _{\Lambda }}$,

где ${\displaystyle \Omega _{m}={\frac {\rho }{\rho _{cr}}}}$, ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }={\frac {8\pi G\Lambda c^{2}}{\rho _{cr}}}}$, ${\displaystyle \rho _{cr}={\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}}}$, ${\displaystyle \Omega _{k}=-{\frac {kc^{2}}{a^{2}H^{2}}},}$
плотность вещества и тёмной энергии, отнесённая к критической, сама критическая плотность и вклад кривизны пространства соответственно. Если переписать уравнение следующим образом

${\displaystyle \Omega _{k}=1-(\Omega _{m}+\Omega _{\Lambda })=1-\left({\frac {\rho +\rho _{\Lambda }}{\rho _{cr}}}\right)}$,

то станет очевидно, что:

${\displaystyle k={\begin{cases}-1,&\rho +\rho _{\Lambda }<\rho _{cr}\\0,&\rho +\rho _{\Lambda }=\rho _{cr}\\1,&\rho +\rho _{\Lambda }>\rho _{cr}\end{cases}}}$

Стадия	Эволюция масштабного фактора	Параметр Хаббла
Инфляционная	${\displaystyle a\propto e^{Ht}}$	${\displaystyle H^{2}={\frac {8\pi }{3}}{\frac {\rho _{vac}}{M_{pl}^{2}}}}$
Радиационное доминирование p=ρ/3	${\displaystyle a\propto t^{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle H={\frac {1}{2t}}}$
Пылевая стадия p=0	${\displaystyle a\propto t^{\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle H={\frac {2}{3t}}}$
${\displaystyle \Lambda }$-доминирование p=-ρ	${\displaystyle a\propto e^{Ht}}$	${\displaystyle H^{2}={\frac {8\pi }{3}}G\rho _{\Lambda }}$

Подставив в уравнение неразрывности уравнение состояния в виде

${\displaystyle p=\omega \rho }$(1)

Получим его решение:

${\displaystyle p\propto a^{-3-3\omega }\Rightarrow \rho \propto a^{-3-3\omega }}$

Для разных случаев эта зависимость выглядит по-разному:

Случай холодного вещества (например пыль) p = 0

${\displaystyle \rho \propto a^{-3}}$

Случай горячего вещества (например излучение) p = ρ/3

${\displaystyle \rho \propto a^{-4}}$

Случай энергии вакуума ${\displaystyle p=-\rho }$

${\displaystyle \rho =const}$

Благодаря этому, влиянием Ω_k на ранних этапах можно пренебречь, то есть считать Вселенную плоской (так как k=0. Одновременно, разная зависимость плотности компонентов от масштабного фактора позволяет выделить различные эпохи, когда расширение определяется только тем или иным компонентом, представленных в таблице.

Также если ввести некую квинтэссенцию из плотности тёмной энергии и плотности барионной и принять, что оно подчиняется выражению (1), то пограничным значением является

${\displaystyle \omega _{0}=-{\frac {1}{3}}}$

При превышении этого параметра расширение замедляется, при меньшем — ускоряется.

Λ < 0

Если значение космологической постоянной отрицательно, то действуют только силы притяжения и более никаких. Правая часть уравнения энергии будет неотрицательной только при конечных значениях R. Это означает, что при некотором значении R_c Вселенная начнёт сжиматься при любом значении k и вне зависимости от вида уравнения состояния^[8].

Λ = 0

В случае, если космологическая постоянная равна нулю, то эволюция целиком и полностью зависит от начальной плотности вещества^[5]:

${\displaystyle \left({\frac {da}{dt}}\right)^{2}=G{\frac {8\pi \rho _{0}a_{0}^{3}}{3a}}-a_{0}^{2}H_{0}\left(\rho _{0}-{\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}}\right).}$

Если ${\displaystyle \rho _{0}=\rho _{cr}}$, то расширение продолжается бесконечно долго, в пределе с асимптотически стремящейся к нулю скоростью. Если плотность больше критической, то расширение Вселенной тормозится и сменяется сжатием. Если меньше, то расширение идёт неограниченно долго с ненулевым пределом H.

Λ > 0

Если Λ>0 и k≤0, то Вселенная монотонно расширяется, но в отличие от случая с Λ=0 при больших значениях R скорость расширения растёт^[8]:

${\displaystyle R\propto exp[(\Lambda /3)^{1/2}t].}$

При k=1 выделенным значением является ${\displaystyle \Lambda _{c}=4\pi G\rho }$. В этом случае существует такое значение R, при котором ${\displaystyle R'=0}$ и ${\displaystyle R''=0}$, то есть Вселенная статична.

При Λ>Λ_c скорость расширения убывает до какого-то момента, а потом начинает неограниченно возрастать. Если Λ незначительно превышает Λ_c, то на протяжении некоторого времени скорость расширения остаётся практически неизменной.

В случае Λ<Λ_c всё зависит от начального значения R, с которого началось расширения. В зависимости от этого значения Вселенная либо будет расширяться до какого-то размера, а потом сожмётся, либо будет неограниченно расширяться.

ΛCDM — это современная модель расширения, являющаяся моделью Фридмана, включающая в себя помимо барионной материи, тёмную материю и тёмную энергию

Время с начала расширения, называемая также возрастом Вселенной^[11] определяется следующим образом:

${\displaystyle t={\frac {1}{H_{0}-1}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {dx}{x{\sqrt {\Omega _{\Lambda }+\Omega _{k}x^{-2}+\Omega _{d}x^{-3}+\Omega _{l}x^{-4}}}}},x={\frac {a}{a_{0}}}}$

Наблюдательные подтверждения сводятся к подтверждению самой модели расширения с одной стороны и предсказываемой ею моменты начала различных эпох, а с другой, чтоб возраст самых старых объектов не превышал получающийся из модели расширения возраст всей Вселенной.

Не существует прямых измерений возраста Вселенной, все они измеряются косвенно. Все методы можно разделить на две категории^[12]:

1. Определение возраста на основе моделей эволюции у самых старых объектов: старых шаровых скоплений и белых карликов.

   В первом случае метод основан на факте, что звезды в шаровом скоплении все одного возраста, опираясь на теорию звёздной эволюции, строятся изохроны на диаграмме «цвет — звёздная величина», то есть кривые равного возраста для звёзд различной массы. Сопоставляя их с наблюдаемым распределением звёзд в скоплении, можно определить его возраст.

   Метод имеет ряд своих трудностей. Пытаясь их решить, разные команды, в разное время получали разные возраста для самых старых скоплений, от ~8 млрд лет^[13], до ~ 25 млрд лет^[14].

   Белые карлики имеют приблизительно одинаковую массу звёзд-предшественниц, а значит — и приблизительно одинаковую зависимость температуры от времени. Определив по спектру белого карлика его абсолютную звёздную величину на данный момент и зная зависимость время—светимость при остывании, можно определить возраст карлика^[15]

   Однако данный подход связан как с большими техническими трудностями, — белые карлики крайне слабые объекты, — необходимо крайне чувствительные инструменты, чтоб их наблюдать. Первым и пока единственным телескопом, на котором возможно решение данной задачи является космический телескоп им. Хаббла. Возраст самого старого скопления по данным группы, работавшей с ним: ${\displaystyle 12,7\pm 0,7}$ млрд лет^[15], однако, результат оспаривается. Оппоненты указывают, что не были учтены дополнительные источники ошибок, их оценка ${\displaystyle 12,4_{-1,5}^{+1,8}}$ млрд лет^[16].

2. Ядерный метод. В его основе лежит тот факт, что разные изотопы имеют разный период полураспада. Определяя текущие концентрации различных изотопов у первичного вещества можно определить возраст элементов в неё входящих.

   Так у звезды CS31082-001, принадлежащей звёздному населению типа II, были обнаружены линии и измерены концентрации тория и урана в атмосфере. Эти два элемента имеют различный период полураспада, поэтому со временем их соотношение меняется, и если как-то оценить первоначальное соотношение обильностей, то можно определить возраст звезды. Оценить можно двояким способом: из теории r-процессов, подтверждённой как лабораторными измерениями, так и наблюдениями Солнца; или можно пересечь кривую изменения концентраций за счёт распада и кривую изменения содержания тория и урана в атмосферах молодых звёзд за счёт химической эволюции Галактики. Оба метода дали схожие результаты: 15,5±3,2^[17] млрд лет получены первым способом, ${\displaystyle 14{,}5_{+2{,}2}^{-2{,}8}}$^[18] млрд лет — вторым.

В космологии на больших расстояниях непосредственно измеряемых величин всего три — звёздная величина, характеризующая блеск, угловой размер и красное смещение. Поэтому, для сравнения с наблюдениями вводятся две зависимости:

• Угловой размер от красного смещения, называемого угловым расстоянием:

${\displaystyle d_{a}={\frac {a(t_{0})\chi }{1+z}}}$

• Блеск от красного смещения — называемого фотометрическим расстоянием:

${\displaystyle d_{l}=(1+z)^{2}d_{a}}$

Также в научно-популярной литературе можно встретить ещё три вида расстояний: расстояние между объектами на текущей момент, расстояние между объектами на момент испускания принятого нами света и расстояние, которое прошёл свет.

Для измерения фотометрического расстояния необходим источник известной светимости, так называемая стандартная свеча. Для космологических масштабов в качестве таковой берутся сверхновые типа Ia. Они возникают как следствие термоядерного взрыва белого карлика приблизившегося к пределу Чандрасекара.

Также преимущественно в научно-популярной литературе используется термин «сфера Хаббла» — это сфера, чей радиус равен расстоянию, при котором скорость убегания равна скорости света^[19][20].

• Большой взрыв
• Жорж Леметр
• Решения уравнений Эйнштейна
• Уравнение Фридмана (геофизическая гидродинамика)
• Уравнение Фридмана

• Harrison, E. R. (1967), "Classification of uniform cosmological models", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 137: 69—79, Bibcode:1967MNRAS.137...69H, doi:10.1093/mnras/137.1.69
• D'Inverno, Ray (1992), Introducing Einstein's Relativity, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859686-8