Вторая гипотеза Харди — Литлвуда

Вторая гипотеза Харди — Литлвуда — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная английскими математиками Харди и Литлвудом, утверждающая, что

\pi (x+y)\leqslant \pi (x)+\pi (y),\

где $\pi (x)$ — функция распределения простых чисел. Иначе говоря, гипотеза утверждает, что в любом отрезке длины y число простых чисел всегда не превосходит число простых чисел в отрезке $[1;y]$ .

В 1974 Ричардсом было показано, что вторая гипотеза Харди — Литлвуда противоречит первой гипотезе Харди — Литлвуда. Если первая гипотеза истинна, то можно найти кортеж из $447$ простых на интервале длиной $y=3159$ , в то время как $\pi (3159)=446$ , при этом до $2{,}2\cdot 10^{1198}$ можно обнаружить 12 таких контрпримеров^[1].

См. также

Примечания

↑ 447-tuple calculations (неопр.). Дата обращения: 12 августа 2008. Архивировано 28 декабря 2012 года.

Ссылки

Engelsma, Thomas J. k-tuple Permissible Patterns (неопр.). Дата обращения: 12 августа 2008. Архивировано 28 декабря 2012 года.
G. H. Hardy and J. E. Littlewood. On some problems of "partitio numerorum" III: On the expression of a number as a sum of primes (англ.) // Acta Mathematica : journal. — 1923. — Vol. 44. — P. 1—70. — doi:10.1007/BF02403921.
Oliveira e Silva, Tomás Admissible prime constellations (неопр.). Дата обращения: 12 августа 2008.
Richards, Ian. On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. : journal. — 1974. — Vol. 80. — P. 419—438. — doi:10.1090/S0002-9904-1974-13434-8.

Похожие исследовательские статьи

Проблема Гольдбаха — утверждение о том, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Является открытой математической проблемой — по состоянию на 2023 год утверждение не доказано. В совокупности с гипотезой Римана включена в список проблем Гильберта под номером 8.

Гипо́теза Ри́мана — сформулированная немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году математическая гипотеза о том, что дзета-функция Ри́мана $\text{[math]}$ принимает нулевые значения только в отрицательных чётных числах: $\text{[math]}$ , и комплексных числах с вещественной частью $\text{[math]}$ . Гипотеза Римана касается расположения этих нетривиальных нулей и утверждает, что:

<span class="mw-page-title-main">Теорема Бруна</span>

Теорема Бруна утверждает, что сумма чисел, обратных числам-близнецам сходится к конечному значению, известному как константа Бруна, которая обозначается как B₂. Теорему Бруна доказал Вигго Брун в 1919, и она имеет историческое значение для методов решета.

Числа-близнецы — пары простых чисел, отличающихся на 2.

Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.

<span class="mw-page-title-main">Харди, Годфри Харолд</span> английский математик

Го́дфри Ха́ролд Ха́рди — английский математик, известный своими работами в теории чисел и математическом анализе. В биологии он известен Законом Харди — Вайнберга, являющимся базовым принципом популяционной генетики. В дополнение к его исследованиям, его помнят за его эссе 1940 года об эстетике математики под названием «Апология математика». Харди также был наставником индийского математика Сринивасы Рамануджана.

Проблемы Ландау — четыре теоретико-числовых гипотезы, выделенные в 1912 году Эдмундом Ландау как главные и «неприступные при текущем состоянии математики» в докладе на Международном конгрессе математиков:

гипотеза Гольдбаха: можно ли любое целое чётное число, большее 4, записать в виде суммы двух простых?
гипотеза о числах-близнецах: бесконечно ли число простых $\text{[math]}$ таких, что $\text{[math]}$ тоже простое?
гипотеза Лежандра: всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?
существует ли бесконечно много простых чисел $\text{[math]}$ , для которых $\text{[math]}$ является полным квадратом? Другими словами, бесконечно ли количество простых чисел вида $\text{[math]}$ ?

Гипотеза Лежандра — математическая гипотеза из семейства результатов и гипотез относительно интервалов между простыми числами, согласно которой для любого натурального $\text{[math]}$ существует простое число между $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . Является одной из проблем Ландау. Сформулирована Лежандром в 1808 году, по состоянию на 2024 год ни доказана, ни опровергнута.

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел, которая утверждает, что функция распределения простых чисел $\text{[math]}$ растёт с увеличением $\text{[math]}$ как $\text{[math]}$ , то есть:

\text{[math]}

, когда

\text{[math]}

Теория чисел — это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.

Интервалы между простыми числами — это разности между двумя последовательными простыми числами. n-й интервал, обозначаемый $\text{[math]}$ , — это разность между (n + 1)-м и n-м простыми числами, то есть

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Функция распределения простых чисел</span>

В математике функция распределения простых чисел, или пи-функция $\text{[math]}$ , — это функция, равная числу простых чисел, меньших либо равных действительному числу x. Она обозначается $\text{[math]}$ .

Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Харальдом Крамером в 1936 году, утверждающая, что

\text{[math]}

Теорема Грина — Тао — теоретико-числовое утверждение, доказанное Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году, согласно которому последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Другими словами, существуют арифметические прогрессии простых чисел, состоящие из k членов, где k может быть любым натуральным числом. Доказательство заключается в расширении теоремы Семереди.

В теории чисел простым числом Вифериха называется простое число $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ делит $\text{[math]}$ , что является усилением утверждения малой теоремы Ферма, утверждающей, что любое нечетное простое $\text{[math]}$ делит $\text{[math]}$ . Эти простые числа впервые описаны Артуром Виферихом в 1909-м году в работе, относящейся к великой теореме Ферма. К тому времени обе теоремы Ферма были хорошо известны математикам.

Гипотеза Эллиота — Халберстама $\text{[math]}$ — это гипотеза о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. Она имеет множество применений в методах решета. Название гипотеза получила в честь Питера Эллиота и Хайни Халберстама.

Гипотеза Чебышёва — теоретико-числовая гипотеза, выдвинутая Пафнутием Чебышёвым в 1853 году: доля простых чисел, дающих остаток 3 при делении на 4, незначительно, но устойчиво превышает долю простых чисел, дающих остаток 1 при делении на 4. Иначе говоря, для произвольно выбранного большого числа $\text{[math]}$ суммарное количество простых чисел вида $\text{[math]}$ , таких что $\text{[math]}$ , будет с большой вероятностью больше суммарного количества простых чисел вида $\text{[math]}$ . Доказана только в предположении выполнения некоторой усиленной формы гипотезы Римана.

Гипотеза Оппермана — нерешённая проблема математики о распределении простых чисел. Гипотеза тесно связана с гипотезой Лежандра, гипотезой Андрицы и гипотезой Брокара, но более строгая. Гипотеза названа именем датского математика Людвига Оппермана, который опубликовал гипотезу в 1882.

Константа Лежандра — это математическая константа, появляющаяся в гипотетической формуле, предложенной Адриеном Мари Лежандром для асимптотического поведения функции распределения простых чисел $\text{[math]}$ . Сейчас известно, что это число в точности равно 1.

Простые числа Рамануджана — подпоследовательность простых чисел, связанная с теоремой Рамануджана, уточняющей постулат Бертрана относительно функции распределения простых чисел.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.