Гармоническая четвёрка точек — чётверка точек на проективной прямой, двойное отношение которых . В этом случае говорят также, что точки и гармонически сопряжены относительно и пишут .
Гармонической четвёркой прямых называется четвёрка прямых в проективной плоскости, проходящих через одну точку , для которых любая четвёрка точек , такая, что , находящаяся на одной прямой, является гармонической. В этом случае пишут .
Гармоническая четвёрка точек на комплексной плоскости лежит на одной прямой или окружности, и пары касательных в противоположных точках конкурентны диагонали.
Построение
Для любых трёх точек, лежащих на одной прямой, пользуясь гармоническими свойствами полного четырёхвершинника, можно построить четвёртую точку так, что получится гармоническая четвёрка точек.
На рисунке выше точки пересечения двух пар противоположных сторон ML и KN, MK и LN полного четырёхугольника MLNK (соответственно первые две точки A и B прямой), а также точки D и C пересечения соответственно диагоналей LK и MN с этой прямой (прямая AC), проходящей через эти точки, образуют гармоническую четвёрку точек A, B, C, D.
Построения последнего пункта (см. также рисунок) полностью дублирует следующая теорема[1]: Для точки K прямая Чевы (например LD) треугольника ALB и прямая MN, соединяющая основания M и N двух других прямых Чевы AN и BM, делят противоположную сторону AB гармонически.
Пример гармонической четвёрки точек
Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при одной вершине треугольника пересекают противоположную этой вершине сторону и соответственно её продолжение в двух точках, которые вместе с двумя концами этой стороны образуют гармоническую четвёрку точек[2].
Точка, гармонически сопряженная середине стороны треугольника, находится на продолжении этой стороны на бесконечности[3].
Гармоническая четвёрка на расширенной евклидовой плоскости
Если точка несобственная, то четвёрка гармоническая, если — середина отрезка .
Если — полный четырёхвершинник и его диагональные точки — несобственные, то на расширенной евклидовой плоскости — параллелограмм, а из его гармонических свойств следует, что точка пересечения его диагоналей делит их пополам.
Если — полный четырёхвершинник, у которого одна диагональная точка — несобственная, , то на расширенной евклидовой плоскости — трапеция, а из его гармонических свойств следует, что делит пополам.
Примечания
↑Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. Теорема на с. 46, § 31.
↑Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. Теорема на с. 46, § 30.
↑Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. Задача на с. 46, § 30.
Литература
Базылев, Дуничев, Иваницкая. Геометрия, часть 2. — М.: Просвещение, 1975.
Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 6-е изд.. — М., 1978.
Певзнер С.Л. Проективная геометрия. — М.: Просвещение, 1980.
Постников М. М. Аналитическая геометрия. — 1973.
Х. С. М. Кокстер. Действительная проективная плоскость / под ред. проф. А. А. Глаголева. — М., 1959.
Похожие исследовательские статьи
Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники, невыпуклый четырёхугольник может быть самопересекающимся. Четырёхугольник без самопересечений называется простым, часто под термином «четырёхугольник» имеются в виду только простые четырёхугольники.
Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре.
Вневпи́санная окружность треугольника — окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. У любого треугольника существует три вневписанных окружности.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону . В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника, совпадать с его стороной или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.
Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой . В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника, вне его или совпадать с вершиной. Ортоцентр относится к замечательным точкам треугольника и перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга как точка X(4).
Проекти́вная пло́скость — двумерное проективное пространство. Важным частным случаем является вещественная проективная плоскость.
Проективное преобразование проективной плоскости — это преобразование, переводящее прямые в прямые.
Подо́бие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек , и их образов , имеет место соотношение , при некотором фиксированном , называемым коэффициентом подобия.
Проективная геометрия — раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства. Главная особенность проективной геометрии состоит в принципе двойственности, который прибавляет изящную симметрию во многие конструкции.
Центроид треугольника — точка пересечения медиан в треугольнике.
Важное свойство проективной плоскости — «симметрия» ролей, которые играют точки и прямые в определениях и теоремах, и двойственность является формализацией этой концепции. Имеются два подхода к концепции двойственности: один, использующий язык «принципа двойственности», позволяет объявить ряд теорем двойственными друг к другу, при этом двойственная к верной теореме тоже верна; и другой, функциональный подход, основанный на специальном отображении двойственности. Связь между подходами состоит в том, что двойственная теорема получается применением отображения двойственности к каждому объекту исходной. Возможен и координатный подход.
То́чка Лемуа́на — одна из замечательных точек треугольника.
Геометрия треугольника — раздел планиметрии, изучающий свойства треугольника и связанные с ним объекты — центры, прямые и так далее.
В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников.
Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной. Обычно предполагается, что четырёхугольник выпуклый, но бывают и самопересекающиеся вписанные четырёхугольники. Формулы и свойства, данные ниже, верны только для выпуклых четырёхугольников.
Середина отрезка — точка на заданном отрезке, находящаяся на равном расстоянии от обоих концов данного отрезка. Является центром масс как всего отрезка, так и его конечных точек.
Точка Брокара — одна из двух точек внутри треугольника, возникающих на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных данному треугольнику и построенных на его сторонах. Считаются замечательными точками треугольника, с их помощью строятся многие объекты геометрии треугольника.
Полный четырёхугольник — это система геометрических объектов, состоящая из любых четырёх точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и шести прямых, соединяющих шесть пар точек. Конфигурация, двойственная к полному четырёхугольнику — полный четырёхсторонник — является системой из четырёх прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку, и шести точек пересечения этих прямых. Лахлан для полного четырёхугольника использовал название тетрастигма, а для полного четырёхстронника — тетрагам. Эти термины, хоть и редко, но встречаются в литературе.
Теорема Дезарга об инволюции (ТДИ) — теорема проективной геометрии
Эта страница основана на статье Википедии. Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия. Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.
