Гармоническая ёмкость

Гармоническая ёмкость — характеристика множества, измеряющая способность предмета данной формы удерживать электрический заряд.

Определение

Гармоническая ёмкость $C(K)$ компактного подмножества $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ определяется как точная нижняя грань интеграла

C(K)=\inf _{u}\left\{\,\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x\,\right\}

по всем липшицевским функциям $u\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ таким, что $u(x)=1$ для любого $x\in K$ и $u(x)\to 0$ при $|x|\to \infty$ .

Замечания

Точная верхняя грань достигается для функции $u(x)$ , гармонической в дополнении $\mathbb {R} ^{n}\setminus K$ ; отсюда название.

Свойства

Гармоническая ёмкость монотонна по включению; то есть, если $K\subset K'$ , то $C(K)\leqslant C(K')$ .

Литература

Е. Д. Соломенцев. Гармоническая емкость // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5: Слу — Я. — 1248 стб. : ил. — 150 000 экз.

См. также

Электрическая ёмкость

Похожие исследовательские статьи

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — вещественные числа, $\text{[math]}$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $\text{[math]}$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\text{[math]}$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $\text{[math]}$ Главное свойство $\text{[math]}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $\text{[math]}$ -й степени имеет $\text{[math]}$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

<span class="mw-page-title-main">Интеграл Римана</span> простейшее определение интеграла

Интегра́л Ри́мана — наиболее широко используемый вид определённого интеграла. Очень часто под термином «определённый интеграл» понимается именно интеграл Римана, и он изучается самым первым из всех определённых интегралов во всех курсах математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Выпуклое множество в аффинном или векторном пространстве — множество, в котором все точки отрезка, образуемого любыми двумя точками данного множества, также принадлежат данному множеству.

Пространство основных функций — структура, с помощью которой строится пространство обобщённых функций.

Ко́мпле́ксная пло́скость — геометрическое представление множества комплексных чисел $\text{[math]}$ .

Точная верхняя граница и точная нижняя граница — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция $\text{[math]}$ , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве $\text{[math]}$ , удовлетворяющая уравнению Лапласа:

\text{[math]}

Ограниченность в математике — свойство множеств, указывающее на конечность размера в контексте, определяемом категорией пространства.

Теоре́ма Вейерштра́сса — теорема математического анализа и общей топологии, которая гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своих точных верхней и нижней граней.

В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в $\text{[math]}$ является обобщением понятия длины кривой, задаваемой в $\text{[math]}$ этой функцией.

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.

Ме́тод обра́тного преобразова́ния — способ генерации случайных величин с заданной функцией распределения, путём модификации работы генератора равномерно распределённых чисел.

<span class="mw-page-title-main">Полунепрерывная функция</span>

Полунепреры́вность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значения функции в ней.

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи и класс гармонических функций.

Предел вдоль фильтра — обобщение понятия предела.

Мера Хаусдорфа — собирательное название класса мер, определённых на борелевской $\text{[math]}$ -алгебре $\text{[math]}$ метрического пространства $\text{[math]}$ . Построены Феликсом Хаусдорфом.

Неравенство Лоясевича — неравенство, установленное польским математиком Станисловом Лоясевичем, дающее верхнюю оценку для расстояния от точки произвольного компакта до множества нулевого уровня вещественной аналитической функции многих переменных. Это неравенство находит применения в различных разделах математики, в том числе, в вещественной алгебраической геометрии, в анализе, в теории дифференциальных уравнений .

Филинг-радиус — метрическая характеристика Риманова многообразия.

Квазианалити́ческие фу́нкции в математическом анализе — класс функций, которые, нестрого говоря, можно полностью реконструировать по их значениям на небольшом участке. Такое свойство значительно облегчает решение дифференциальных уравнений и исследование других задач анализа. Поскольку это свойство выполняется для аналитических функций, то класс квазианалитических функций содержит класс обычных аналитических функций и может рассматриваться как его расширение.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.