Гельмгольциан

Гельмгольциа́н — в гидродинамике векторный (преобразующий векторное поле в векторное поле) линейный дифференциальный оператор, определяемый для движущейся жидкости или газа. Гельмгольциан обозначается символом ${\displaystyle \ \operatorname {helm} }$. Гельмгольциан над векторным полем ${\displaystyle \mathbf {A} }$ определяется формулой

${\displaystyle \ \operatorname {helm} \mathbf {A} \equiv {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+(v\cdot \nabla )\mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot \nabla )v+\mathbf {A} (\nabla \cdot v)}$,

где ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — вектор скорости потока жидкости или газа, ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла.

Оператор гельмгольциан внедрён в обиход Александром Александровичем Фридманом, и назван в честь Германа Гельмгольца.

Гидродинамический смысл гельмгольциана заключается в том, что равенство ${\displaystyle \ \operatorname {helm} \mathbf {A} =0}$ означает «вмороженность» векторного поля ${\displaystyle \ \mathbf {A} }$ в движущуюся жидкость, понимаемую в том смысле, что каждая векторная линия этого поля (то есть линия, касательная к которой в любой её точке имеет направление вектора ${\displaystyle \ \mathbf {A} }$ в этой точке) сохраняется, то есть всё время состоит из одних и тех же частиц жидкости, а интенсивность векторных трубок (стенки которых состоят из векторных линий), то есть потоки ${\displaystyle \ \int \limits _{\sigma }(\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\sigma } )}$ вектора ${\displaystyle \ \mathbf {A} }$ через любые сечения ${\displaystyle \ \mathbf {\sigma } }$ этих трубок, не меняются со временем^[1]. Гельмгольциан используется в геофизической гидродинамике, магнитной гидродинамике.

• Уравнение вихря