Геометрический остов

Геометрический остов (англ. geometric spanner) или t-остовной граф, или t-остов первоначально был введён как взвешенный граф на множестве точек в качестве вершин, для которого существует t-путь между любой парой вершин для фиксированного параметра t. t-путь определяется как путь в графе с весом, не превосходящим в t раз пространственное расстояние между конечными точками. Параметр t называется коэффициентом растяжения^[англ.] остова^[1].

В вычислительной геометрии концепцию первым обсуждал Л.П. Чу в 1986^[2], хотя термин «spanner» (остов) в статье упомянут не был.

Понятие остовных деревьев известно в теории графов — t-остова, это остовные подграфы графов с похожими свойствами растяжения, где расстояние между вершинами графа определяется в терминах теории графов. Поэтому геометрические остовы являются остовными деревьями полных графов, вложенных в плоскость, в которых веса рёбер равны расстояниям между вершинами в соответствующей метрике.

Остовы могут быть использованы в вычислительной геометрии для решения некоторых задач на близость^[англ.]. Они находят также приложения в других областях, таких как планирование движения^[англ.], в коммуникационных сетях — надёжность сети, оптимизация роуминга в мобильных сетях и т.д..

Различные остовы и меры качества

Существуют различные меры, используемые для анализа качества остовов. Наиболее распространёнными мерами являются число рёбер, общий вес и максимальная степень вершин. Асимптотически оптимальные значения для этих мер — $O(n)$ рёбер, $O(MST)$ для общего веса и $O(1)$ для максимальной степени (здесь MST означает вес минимального остовного дерева).

Известно, что поиск остова на евклидовой плоскости с минимальным растяжением на n точках с максимум m рёбрами является NP-трудной задачей^[3].

Есть много алгоритмов, которые хорошо ведут себя при различных мерах качества. Быстрые алгоритмы включают остовную вполне разделенную декомпозицию пар^[англ.] (англ. Well-separated pair decomposition, WSPD) и тета-графы, которые строят остовы с линейным числом рёбер за время $O(n\log n)$ . Если требуются лучшие веса и степени вершин, жадный остов вычисляется почти за квадратичное время.

Тета-граф

Тета-граф или $\Theta$ -граф принадлежит семейству основанных на конусе остовов. Основной метод построения заключается в разделении пространства вокруг каждой вершины на множество конусов (плоский конус — это два луча, то есть угол), которые разделяют оставшиеся вершины графа. Подобно графам Яо, $\Theta$ -граф содержит максимум по одному ребру для конуса. Подход отличается в способе выбора рёбер. В то время как графы Яо выбирают ближайшую вершину согласно метрическому расстоянию в графе, $\Theta$ -граф определяет фиксированный луч, содержащийся в каждом конусе (обычно биссектриса конуса) и выбираются ближайшие соседи (то есть имеющие наименьшее расстояние до луча).

Жадный остов

Жадный остов или жадный граф определяется как граф, получающийся путём многократного добавления ребра между точками, не имеющими t-пути. Алгоритмы вычисления этого графа упоминаются как алгоритмы жадного остова. Из построения тривиально следует, что жадные графы являются t-остовами.

Жадный остов открыли в 1989 независимо Альтхёфер^[4] и Берн (не опубликовано).

Жадный остов достигает асимптотически оптимальное число рёбер, общий вес и максимальную степень вершины и даёт лучшие величины меры на практике. Он может быть построен за время $O(n^{2}\log n)$ с использованием пространства $O(n^{2})$ ^[5].

Триангуляция Делоне

Главным результатом Чу было то, что для множества точек на плоскости существует триангуляция этих наборов точек, такая, что для любых двух точек существует путь вдоль рёбер триангуляции с длиной, не превосходящей $\scriptstyle {\sqrt {1}}0$ евклидова расстояния между двумя точками. Результат был использован в планировании движения для поиска приемлемого приближения кратчайшего пути среди препятствий.

Лучшая верхняя известная граница для триангуляции Делоне равна $\scriptstyle {(4{\sqrt {3}}/9)\pi }\approx 2{,}418$ -остова для его вершин^[6]. Нижняя граница была увеличена с $\scriptstyle {{\pi }/2}$ до 1,5846^[7].

Вполне разделенная декомпозиция пар

Остов может быть построен из вполне разделенной декомпозиции пар^[англ.] следующим образом. Строим граф с набором точек $S$ в качестве вершин и для каждой пары $\{A,B\}$ в WSPD добавляем ребро из произвольной точки $a\in A$ в произвольную точку $b\in B$ . Заметим, что получающийся граф имеет линейное число рёбер, поскольку WSPD имеет линейное число пар^[8].

Доказательство корректности алгоритма ^[9]

Нам нужны эти два свойства WSPD^[англ.]:

Лемма 1: Пусть $\{A,B\}$ будет вполне разделенной декомпозицией пар по отношению к $s$ . Пусть $p,p'\in A$ и $q\in B$ . Тогда $|pp'|\leqslant (2/s)|pq|$ .

Лемма 2: Пусть $\{A,B\}$ будет вполне разделенной декомпозицией пар по отношению к $s$ . Пусть $p,p'\in A$ и $q,q'\in B$ . Тогда, $|p'q'|\leqslant (1+4/s)|pq|$ .

Пусть $\{A,B\}$ будет вполне разделенной декомпозицией пар по отношению к $s$ в WSPD. Пусть $[a,b]$ будет ребром, соединяющим $A$ с $B$ . Пусть есть точка $p\in A$ и точка $q\in B$ . По определению WSPD достаточно проверить, что есть $t$ -остовной путь, или $t$ -путь для краткости, между $p$ и $q$ , который обозначим $P_{pq}$ . Обозначим длину пути $P_{pq}$ через $|P_{pq}|$ .

Предположим, что есть $t$ -путь между любой парой точек с расстоянием, меньшим или равным $|pq|$ и $s>2$ . Из неравенства треугольника, предположений и факта, что $|pa|\leqslant (2/s)|pq|\Rightarrow |pa|<|pq|$ и $|bq|\leqslant (2/s)|pq|\Rightarrow |bq|<|pq|$ согласно Лемме 1 мы имеем:

$|P_{pq}|\leqslant t|pa|+|ab|+t|bq|$

Из леммы 1 и 2 мы получаем:

${\begin{aligned}|P_{pq}|&\leqslant t(2/s)|pq|+(1+4/s)|pq|+t(2/s)|pq|\\&=t(4/s)|pq|+(1+4/s)|pq|\\&=\left({\frac {4t+4}{s}}\right)|pq|+|pq|\\&=\left({\frac {4(t+1)}{s}}+1\right)|pq|\end{aligned}}$

Так что:

${\begin{aligned}t&={\frac {4(t+1)}{s}}+1\\t-1&={\frac {4(t+1)}{s}}\\s(t-1)&=4(t+1)\\s(t-1)-4(t+1)&=0\\st-s-4t-4&=0\\t(s-4)-s-4&=0\\t(s-4)&=s+4\\t&={\frac {s+4}{s-4}}\end{aligned}}$

И так, если $t=(s+4)/(s-4)$ и $s>4$ , то мы имеем $t$ -остов для набора точек $S$ .

Согласно доказательству можно иметь произвольное значение для $t$ путём выражения $s$ из $t=(s+4)/(s-4)$ , что даёт $s=4(t+1)/(t-1)$ .

Примечания

↑ Narasimhan, Smid, 2007.
↑ Chew, 1986, с. 169–177.
↑ Klein, Kutz, 2007, с. 196–207.
↑ Althöfer, Das, Dobkin, Joseph, Soares, 1993, с. 81–100.
↑ Bose, Carmi, Farshi, Maheshwari, Smid, 2010, с. 711–729.
↑ Keil, Gutwin, 1992, с. 13–28.
↑ Bose, Devroye, Loeffler, Snoeyink, Verma, 2009, с. 165–167.
↑ Callahan, Kosaraju, 1995, с. 67–90.
↑ Callahan, Kosaraju, 1993, с. 291–300.

Литература

L. Paul Chew. There is a planar graph almost as good as the complete graph // Proc. 2nd Annual Symposium on Computational Geometry. — 1986. — doi:10.1145/10515.10534.
Rolf Klein, Martin Kutz. Computing Geometric Minimum-Dilation Graphs is NP-Hard // Proc. 14th International Symposium in Graph Drawing, Karlsruhe, Germany, 2006 / Michael Kaufmann, Dorothea Wagner. — Springer Verlag, 2007. — Т. 4372. — (Lecture Notes in Computer Science). — ISBN 978-3-540-70903-9. — doi:10.1007/978-3-540-70904-6.
Paul B. Callahan, S. Rao Kosaraju. Faster Algorithms for Some Geometric Graph Problems in Higher Dimensions // Proceedings of the Fourth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. — Austin, Texas, USA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1993. — (SODA '93). — ISBN 0-89871-313-7. — doi:10.1145/313559.313777.
Althöfer I., Das G., Dobkin D. P., Joseph D., Soares J. On sparse spanners of weighted graphs. // Discrete & Computational Geometry. — 1993. — Т. 9. — doi:10.1007/bf02189308.
Bose P., Carmi P., Farshi M., Maheshwari A., Smid. M. Computing the greedy spanner in near-quadratic time // Algorithmica. — 2010. — Т. 58. — doi:10.1007/s00453-009-9293-4.
Keil J. M., Gutwin C. A. Classes of graphs which approximate the complete Euclidean graph // Discrete and Computational Geometry. — 1992. — Т. 7, вып. 1. — doi:10.1007/BF02187821.
Prosenjit Bose, Luc Devroye, Maarten Loeffler, Jack Snoeyink, Vishal Verma. The spanning ratio of the Delaunay triangulation is greater than $\scriptstyle {\pi /2}$ // Canadian Conference on Computational Geometry. — Vancouver, 2009.
Callahan P. B., Kosaraju S. R. A Decomposition of Multidimensional Point Sets with Applications to k-Nearest-Neighbors and n-Body Potential Fields // Journal of the ACM. — 1995. — Январь (т. 42, вып. 1). — doi:10.1145/200836.200853.
Giri Narasimhan, Michiel Smid. Geometric Spanner Networks. — Cambridge University Press, 2007. — ISBN 0-521-81513-4.